Интервальные оценки математического ожидания.

Интервальной оценкой случайной величины называется интервал, в который с заданной вероятностью р попадает истинное значение математического ожидания. Рассмотрим методику получения интервальной оценки математического ожидания.

Допустим, была проведена серия из n опытов, получены случайные значения и найдено среднее . Полученная оценка среднего значения является случайной величиной с нормальным законом распределения, поскольку представляет собой сумму n случайных величин с одинаковым законом распределения.

Параметры распределения случайной величины среднего значения – математическое ожидание m_x равно математическому ожиданию случайной величины X, а дисперсия D_m в n раз меньше D_x (). График функции плотности распределения f() показан на рисунке.

Рис. Функция плотности распределения f()

Интервал [ x 1, x 2] называется доверительным. Границы интервала x 1 = mx - eb, x 2 = mx + eb называются, соответственно, нижним и верхним доверительными пределами. Вероятность b называется доверительной вероятностью, а величина q =1-b –уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Интервальная оценка математического ожидания mx может быть охарактеризована совокупностью двух чисел–шириной доверительного интервала L= 2eb, являющейся мерой

точности оценивания математического ожидания m_x, и доверительной вероятностью р, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов. Практически чаще всего используется значение р = 0,95.

Случайное значение с вероятностью b попадает в интервал m_x ± e_b

P (m_x – e_b< < m_x + e_b)=b

Это означает, что если мы от случайного значения отложим влево и вправо по e, то неизвестное истинное m_x попадет в этот интервал с вероятностью b. (точнее b – вероятность того, что случайный доверительный интервал L= 2e_b накроет точку m_x).

Для нахождения доверительного интервала можно воспользоваться функцией распределения случайной величины , имеющей нормальный закон распределения.

Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, имеет вид

F (x) = P (X < x)

Интеграл для нормального закона распределения нельзя выразить через элементарные функции. Существуют специальные таблицы для нормированного нормального распределения с параметрами m =0, s =1. Для использования таблиц необходимо выразить функцию распределения случайной величины X с параметрами m и s через нормальную функцию распределения Ф(x):

F (x)= (1)

Вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное распределение c параметрами m_x и s _m, в интервал [ x ₁, x ₂] равна разности значений функции распределения F (x), вычисленной на границах этого интервала

P (x ₁ < x < x ₂)= F (x ₂) - F (x ₁)=b

Тогда, поскольку x ₁= m_x – e_b, а x ₂= m_x + e_b, используя нормальную функцию распределения Ф(x) (1), получим:

или после преобразования

В силу симметричности нормированного нормального распределения с параметрами m =0, s=1 относительно начала координат:

Ф(– x) =1-Ф(x)

Тогда или

Отсюда можно найти e_b

откуда

Здесь – аргумент u функции Ф(u), значение которой равно .

Итак, при заданной доверительной вероятности b, пользуясь таблицами функции Ф(u) нужно найти такой аргумент u _b, при котором значение функции равно Ф(u _b)= . Тогда e_b= u _b s _m.

Число u _b показывает, сколько средних квадратических отклонений s _m нужно отложить вправо и влево от центра распределения, чтобы вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равнялась заданному значению b.

Чтобы избежать обратного интерполирования при определении u _b, используется специальная таблица (см. табл. 1), в которой приведены значения u _b= .

Пользуясь величиной u _b, доверительный интервал можно представить в виде

I _b=(m_x – u _bs _m, m_x + u _bs _m)

Пример1.Произведены измерения времени хода поезда по перегону Х (n =20)

10.5 10.8 11.2 10.9 10.4 10.6 10.9 11.0 10.3 10.8

10.6 11.3 10.5 10.7 10.8 10.9 10.8 10.7 10.9 11.0

Требуется найти оценку математического ожидания m_x времени X и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности b = 0.95.

Решение.

Найдем среднее значение:

Найдем несмещенную оценку дисперсии D случайной величины Х:

Дисперсия среднего значения также неизвестна, поэтому найдем ее оценку как

,

По таблице 1 находим при b=0.95 u _b =1.96; тогда

Таблица 1

Доверительные пределы:

нижний x ₁ = m_x – e_b=10,78 – 0,11=10,67,

верхний x ₂ = m_x + e_b =10,78 + 0,11=10,89

Доверительный интервал ; в этом интервале с вероятностью b=0.95 и находится истинное значение математического ожидания m_x случайной величины X.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: