Точный метод нахождения доверительного интервала.

Изложенной методикой можно пользоваться только в том случае, если известна дисперсия D_x, либо если число опытов достаточно велико (n >30). Обычно же точное значение дисперсии неизвестно, известна только ее оценка . Поэтому найденное значение доверительного интервала, особенно при малом n (n £ 30) является приближённым; при этом, чем меньше n, тем меньше точность. Поэтому при малом числе опытов и неизвестной дисперсии случайной величины X для оценки доверительного интервала используют t - распределение Стьюдента. Это распределение при
n ®¥ (практически, при n > 30) переходит в нормальное. В этом случае доверительный интервал определяется как

I _b=(m_x – e_b, m_x + e_b),

где t _n,b – квантиль (критическая точка) распределения Стьюдента;

n – число степеней свободы;

b – доверительная вероятность.

Рис. 2 Квантиль t n,b распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область)

Критические точки t n,b при двусторонней критической области b показаны на рис. 2. В силу симметричности t -распределения t n,b =½– t n,b½. Для определения значений t n,b существуют специальные таблицы (см. табл. 2). В этой таблице приведены значения t n,b в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы n= n –1. Оно равно числу опытов, по которым были определены параметры, минус единица

.

,

Таблица 2

Критические точки распределения Стьюдента

Пример2.Выполнены измерения времени хода поезда по перегону Х (n =6)

10.5 10.8 11.2 10.9 10.4 10.6

Требуется найти оценку математического ожидания m_x времени X и построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности b = 0.95.

Решение.

Найдем среднее значение:

Найдем несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х:

и

По таблице 2 для n= n –1=6-1=5 и b=0.95 находим t _5;0,95 = 2.57,

откуда

Тогда доверительные пределы будут:

нижний x ₁ = m_x – e_b=10,73 – 0,31=10,42,

верхний x ₂ = m_x + e_b =10,73 + 0,31=11,04

Доверительный интервал ; в этом интервале с вероятностью b=0.95 находится истинное значение математического ожидания m_x случайной величины X.

Как видно, во втором примере доверительный интервал несколько увеличился, что объясняется уменьшением числа опытов с 20 до 6.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: