Совокупность решений неравенства именуется множеством решений неравенства.

12 3 4 5 Следующая ⇒

Решение рациональных неравенств методом интервалов.

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением.

Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства.

Решить неравенство — значит найти все его решения или же доказать, что их не существует.

Совокупность решений неравенства именуется множеством решений неравенства.

Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Пример. А(х) =

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3;

кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Теорема. Непрерывная функция, не обращающаяся в нуль на некотором интервале, сохраняет на этом интервале постоянный знак. Решение целых рациональных неравенств с одной переменной методом интервалов

Метод интервалов основан на свойствах функции и заключается в следующем:

Пусть дано неравенство А(х)>0 (вместо знака > могут стоять знаки <, ≥, ≤.),

где А(х) – многочлен стандартного вида (1)

или выражение вида (2)

План решения:

1. Если неравенство не имеет вид (1) или (2), то приведем его к этому виду: перенесем все слагаемые в левую часть, а в правой части оставить нуль.

2. Найдем корни уравнения А(х)=0

; ;...;

3. Нанесем корни уравнения на числовую прямую.

Эти корни разбивают числовую прямую на n+1 промежуток, на каждом из которых левая часть неравенства A(x)>0 сохраняет знак (то есть во всех точках промежутка либо A(x)>0, либо A(x)<0), поскольку, по свойствам функции, изменить знак она может только при переходе через корни – нули функции f(x)=А(х).

Замечание 1. Корни четной кратности подчеркнуть двойной чертой.

Найдем знак левой части неравенства на каждом из полученных интервалов. Для этого на одном из интервалов выберем какое-то значение x=x₀ и, подставив это значение в левую часть неравенства, определим знак А(х) на выбранном интервале (метод пробных точек), а потом учесть, что:

а) А(х) меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему через корень нечетной кратности;

б) А(х) не меняет знак при переходе через корень четной кратности.

4. Выберем те промежутки, где выполняется заданное неравенство (отметим их штрихами - заборчиком).

Замечание 3. В случае A(x)³0 (А(х) ≤0) корни уравнения A(x)=0 являются решениями неравенства (закрашенные точки на числовой прямой). При записи ответа надо обращать внимание на «одиноко стоящие закрашенные точки», которые не вошли в отмеченные промежутки решения, и добавить их в ответ.

Пример.

4. Запишем ответ.

Рассмотрим примеры решения неравенств методом интервалов.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов (x –6)(x +3)³0

1. Решим уравнение:

(x –6)(х +3)=0 Û

2. Нанесем полученные корни на числовую прямую, причем, так как неравенство нестрогое и эти корни являются решениями и неравенства, изобразим их черными точками.

3. Найдем знак левой части на промежутке [6; +¥):

х =7, А(7)=(7–6)(7+3)=1×10=10>0 Þ А(х)>0;

4. Нашему неравенству удовлетворяют два промежутка: (–¥; –3] и [6; +¥)

Ответ: (–¥; –3] È [6; +¥).

Пример 2. Решить неравенство методом интервалов

–х ²–2 х +48<0

1. Разложим левую часть неравенства на множители

–х ²–2 х +48=0 Û х ²+2 х –48=0

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета.

.

Разложим квадратный трехчлен – х ²–2 х +48 на множители: –х ²–2 х +48=−(х +8)(х –6), таким образом имеем неравенство –(х +8)(х –6)<0.

12 3 4 5 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2025 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных