Ограниченность ∫-ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x) € R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х€[a,b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τ_n найдется часть от k [x_k-1,x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε_k€[x_k-1,x_k], таким обр, чтобы |f(ε_k)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_x→0 Ss_n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

ì 1, х – рацион.

D(x)= î 0, х – иррац.

D(x) – огр. на [0,1]

ε_k-рац.

ε_k-ирррац

D(x) – не инт. по Р., но она огр.

Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

Билет 11

Св-ва опред. ин-ла.

1. f(х)dх=0

2. dх=b – a; f(x)º1

3. f(х)dх= - f(х)dх

4. f(x)ÎR [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x) Î R [a,b], то f(x)+g(x) Î R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

" a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(x"хÎ[a,b], то f(х)dх³0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)ÎR [a,b], f(x)£g(x) "xÎ[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)³0 "xÎ[a,b], 0£ (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)ÎR [a,b], то |f(x)|ÎR [a,b]

| f(х)dх |£ |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a)

m£f(x)£M; "xÎ[a,b]

m dх £ f(х)dх£M dх

m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a), a<b

11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то $ т. xÎ[a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f(x)(b-a)

Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; "xÎ[a,b] m£f(x)£M; иссл. оценку ин-ла:

m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a), b-a>0

: (b-a) m£( f(х)dх) / (b-a))£M; l::= f(х)dх) / (b-a)

найдется такая x, что f(x)=l,xÎ[a,b] => f(х)dх=f(x)(b-a) ч.т.д.

Билет 6.

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда

На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или

;

Док-во:

d(uv)=vdu+udv;

Билет Интегрирование рациональных функций.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) ,3) ,4)

1)

2)

3)

4)

- рекуррентная формула

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

Билет 37.

КРИ-2

Механический смысл КРИ-2:

(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. () – постоянная сила. =( (), )=( (), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.

Скалярная форма КРИ-2

Вычисление КРИ-2

,

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: