Пусть уравнение кривой второго порядка имеет вид

.(7)

Такой вид уравнения определяет кривую, оси симметрии которой параллельны осям координат (или, в случае нецентральной кривой, ось симметрии параллельна одной из осей). Выбрав в качестве новых осей координат оси симметрии, или осуществив параллельный перенос системы координат, уравнение (7) может быть приведено к каноническому виду.

Известно также, что 1) если , то уравнение (7) определяет кривую эллиптического типа; 2) если , то гиперболического; 3) если параболического.

Первый способ решения задания 2 а).

Линия второго порядка задана уравнением

.

В этом уравнении . Так как , то данная линия – параболического типа. Путем параллельного переноса системы координат приведем уравнение к виду . Подставим вместо их выражения через по формулам (2): , , получим

, или

, или

.(8)

Подберем так, чтобы слагаемое с и свободный член обратились в нуль, т.е. полагая , , найдем , координаты нового начала . Найденные значения подставим в уравнение (8), получим .

Построим системы координат (данную) и . Уравнение в системе координат определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии (рис.4).

Рис. 4

Второй способ решения задания 2 а).

Возьмем то же уравнение

и разрешим его относительно : .

Выделим полный квадрат относительно

, или .

Таким образом, имеем уравнение параболы с вершиной в точке, координаты которой . Поместим начало новой системы координат в вершину параболы, в точку , и выполним параллельный перенос осей координат, используя формулы

,

тогда уравнение данной параболы в системе (см. рис.4) будет .

Решение задания 2 б).

Дано уравнение

.

Так как , , то уравнение определяет кривую эллиптического типа. Приведем уравнение к каноническому виду. Сгруппируем слагаемые с и слагаемые с

, или

,

выделим полный квадрат относительно и

, или

,

окончательно имеем

.

Перенесем начало координат в точку и воспользуемся формулами параллельного переноса системы координат

,

или, учитывая координаты выбранного начала,

,

тогда уравнение данного эллипса в системе будет выглядеть так:

.

Построим обе системы координат и эллипс.

Рис. 5

Решение задания 3.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: