ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Рассмотрим уравнение кривой второго порядка общего вида.(9) Инвариантом уравнения (9) называют алгебраическое выражение , составленное из коэффициентов при старших членах уравнения (9) , которое не изменяется при любом преобразовании координат. С помощью инварианта определяют принадлежность кривой к определенному типу: 1) если , то уравнение определяет кривую эллиптического типа; 2) если , то гиперболического типа; 3) если , то параболического типа. Так как в уравнении (9) , то оси симметрии кривой не параллельны осям координат . Повернем оси координат так, чтобы они стали параллельны осям симметрии кривой, для этого воспользуемся формулами поворота осей координат (3): , . Подставим выражения для в уравнение (9), имеем . Раскроем скобки и приведем подобные члены, в новых координатах получаем уравнение ,(10) где , , , , . Выберем угол так, чтобы в новой системе координат оси симметрии были параллельны осям координат , т.е. положим , или . Так как , поэтому . После поворота осей координат на этот угол в уравнении (10) исчезнет произведение переменных . В задании 3 дано уравнение . Так как , , то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду. Для этого вначале выполним поворот системы координат на угол , для которого ; по формулам тригонометрии , , находим , , и записываем по формулам поворота осей координат (3) , . Подставим выражения и в данное уравнение, получим . Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим . Выполнив параллельный перенос системы координат, приведем это уравнение к каноническому уравнению гиперболы. Для этого сгруппируем слагаемые с одноименными переменными , выделим полные квадраты относительно , , или , или . Поместим начало новой системы координат в точку , воспользуемся формулами параллельного переноса (2) , , или, учитывая координаты нового начала , , , окончательно получим .(11) Построим все три системы координат , , , учитывая, что угол поворота системы , а точка в системе координат имеет координаты . В систему координат поместим кривую (гиперболу), определяемую уравнением (11). Рис. 6
К заданию 4. Как известно, пара чисел на плоскости определяет точку, а уравнение, связывающее и , – линию на плоскости. Помимо декартовых, на плоскости можно построить большое число других систем координат. Каждая из систем употребляется там, где это удобнее (и декартова – чаще всех бывает удобной), но при исследовании вращательных движений самой эффективной является полярная система координат. Рис. 7 Полярная система координат определяется заданием некоторой точки (полюса), исходящего из этой точки луча (полярной оси) и указанием единицы масштаба. Рассмотрим произвольную точку плоскости ; обозначим расстояние точки от полюса через , угол, на который нужно повернуть луч для совмещения его с , через φ. Угол φ будем понимать так, как это принято в тригонометрии (т.е. углы, получаемые при вращении полярной оси вокруг полюса против часовой стрелки, положительны; при вращении полярной оси по часовой стрелке – отрицательны). Числа (полярный радиус) и φ (полярный угол) называют полярными координатами точки и записывают . Для того чтобы соответствие между точками плоскости и парами чисел было взаимно однозначным, обычно считают, что и (или . Запишем формулы, устанавливающие связь декартовых координат с полярными. Из получим , (12) а также . Решение задания 4 а). Построим линию, заданную уравнением , где . Для построения указанной линии составим таблицу значений и (придавая значения, равные , ).
Ввиду четности значения для одинаковы. На плоскости построим точки, соответствующие имеющимся в таблице парам чисел и , в выбранной нами полярной системе координат. Соединяя последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (Рис.8). Рис. 8
Решение задания 4 б). Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|