Примеры решения задач. Три точечных заряда Q1, Q2, Q3 образуют электрически нейтральную систему, причем Q1 = Q2 =10 нКл

Задача 1

Три точечных заряда Q ₁, Q ₂, Q ₃ образуют электрически нейтральную систему, причем Q ₁ = Q ₂ =10 нКл. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности E_max и потенциала f_max поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии r = 1 м от центра треугольника, длина a стороны которого равна 10 см.

Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде точечного диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов Q₁и Q₂ лежит на середине отрезка прямой (точка B), соединяющей эти заряды (рис.1). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд Q = Q ₁ + Q ₂ = 2 Q ₁. А так как система зарядов нейтральная (Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ = 0), то

Q ₃ = - (Q ₁ + Q ₂) = - Q. (1)

Таким образом, данная система из трех зарядов представляет собой точечный диполь (диполь считаем точечным, так как l << r см. рис. 2) с электрическим моментом

, (2)

где – плечо диполя, равное по модулю (по теореме Пифагора см. рис.1). Поскольку | Q | = 2 Q ₁, то электрический момент такого точечного диполя

. (3)

Напряженность E и потенциал φ поля точечного диполя выражаются формулами

, (4)

, (5)

где α – угол между векторами и .

Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при α = 0, следовательно, формулы (4) и (5) будут иметь вид:

, . (6)

Подставим в (6) формулу (3) и получим окончательно:

, . (7)

Подставим численные значения и найдем:

E_max = 3,12 В/м, f_max = 1,56 В.

Ответ: E_max = 3,12 В/м, f_max = 1,56 В.

Задача 2

Определить электрическую емкость C плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков (см. рис.1): фарфора толщиной d ₁ = 2 мм и эбонита толщиной d₂ = 1,5 мм если площадь S пластин равна 100 см².

Решение. Емкость конденсатора, по определению,

, (1)

где q – заряд на пластинах конденсатора; U – разность потенциалов пластин.

Конденсатор с двумя слоями диэлектриков можно представить как два последовательно соединенных конденсатора с разными диэлектрическими слоями (см. рис.2). Тогда общую

разность потенциалов U в данном случае (последовательное соединение) заменим суммой U ₁ + U ₂ напряжений на слоях диэлектриков.

. (2)

Примем во внимание, что

, и , равенство (2) перепишем в виде:

, (3)

где σ – поверхностная плотность зарядов на пластинах; E ₁ и E ₂ – напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно; D – смещение поля в диэлектриках.

Умножим числитель и знаменатель равенства (3) на ε₀ и учтем, что D = σ, окончательно получим

. (4)

Подставив численные значения в формулу (4) найдем

C = 98,3 пФ.

Ответ: C = 98,3 пФ.

Задача 3

Конденсатор электроемкостью C ₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью C ₂ = 5 мкФ. Определить энергию Δ W, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна

Δ W = W ₁ – W ₂, (1)

где W ₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W ₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле:

. (2)

Принимая во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где C ₁ и C ₂ – электроемкости первого и второго конденсаторов; U ₁ – разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U ₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U ₂ следующим образом:

. (4)

Подставляя (4) в (3) получим

.

После простых преобразований найдем

. (5)

Подставив численные значения в формулу (5) получим

Δ W = 1,5 мДж.

Ответ: Δ W = 1,5 мДж.

Задача 4

Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом подключен к источнику тока, э. д. с. ε которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (см. рисунок). Определить показания вольтметра с сопротивлением R_в = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Решение. Показания U₁ вольтметра, подключенного к точкам A и B (см. рисунок), определяются по формуле

(1)

где I₁ – сила тока в неразветвленной части цепи; R₁ – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для всей цепи:

(2)

где R – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

R = R /2 + R ₁. (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле

,

Откуда

. (4)

Подставив в выражение (4) числовые значения величин и произведя вычисления, найдем

R ₁ = 45,5 Ом.

Подставив в выражение (2) правую часть выражения (3), определим силу тока

.

Если подставить значения I ₁ и R ₁ в формулу (1), то найдем показания вольтметра:

U ₁ = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками A и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра, т.е.

,

или

. (5)

Подставив численные значения в (5) величин ε, R, r, получим

U ₂ = 50 В.

Ответ: U ₁ = 46,9 В,

U ₂ = 50 В.

Задача 5

Определить скорость u, с которой растет слой никеля на плоской поверхности металла при электролизе, если плотность тока j, протекающего через электролит, равна 30 А/м. Никель считать двухвалентным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся объединенным законом Фарадея:

(1)

Будем считать, что электролитическое осаждение никеля идет равномерно по всей поверхности металла. Тогда массу m выделившегося за время t никеля можно выразить через плотность ρ, площадь S поверхности металла и толщину h слоя никеля:

(2)

Силу тока I выразим через плотность тока и площадь поверхности металла:

I = j ^. S. (3)

Подставив в формулу (1) выражение для массы (2) и силы тока (3), получим

(4)

При неизменной плотности тока нарастание слоя никеля будет происходить с постоянной скоростью u, определяемой отношением толщины слоя, наращенного за некоторый интервал времени, к этому интервалу (u = h / t). Тогда из формулы (4) следует

(5)

Выпишем значения величин, выразив их в единицах СИ:

F = 9,65 ^. 10⁴ Кл/моль, M = 58,7 ^. 10^-3 кг/моль, Z = 2, j = 30 А/м², ρ = 8,8 ^. 10³ кг/м³.

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вычисления:

Ответ: u = 1,04 ^. 10^-9 м/с.

Задача 6

Определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r₀ = 20 см от середины его. Сила тока I, текущего по проводу, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

. (1)

Преобразуем выражение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углу α. Выразим длину элемента dl проводника через d α. Согласно рисунку, запишем

. (2)

Подставим (2) в (1):

. (3)

r – величина переменная, зависящая от α и равная

. (4)

Подставив (4) в (3) найдем:

. (5)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (5) в пределах от α₁ до α₂:

, или

. (6)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos α₂ = - cos α₁. С учетом этого формула (6) примет вид:

. (7)

Из рисунка следует

. (8)

Подставив (8) в (7) получим окончательную формулу:

. (9)

Подставим числовые значения в формулу (9) и произведем вычисления:

.

Ответ: B = 24,9 мкТл.

Задача 7

По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами, для случаев:

1. провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис.1);

2. провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис.2);

3. провода перпендикулярны, направление токов указано на рис.3.

Решение. Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: ,

где – индукция поля, создаваемого током I ₁; - индукция поля, создаваемого током I ₂.

Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

B = B ₁ + B ₂. (1)

При этом слагаемые B ₁ и B ₂ должны быть взяты с соответствующими знаками.

В данной задаче во всех трех случаях модули индукций B ₁ и B ₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле:

. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули B ₁ и B ₂:

B ₁ = B ₂ = 80 мкТл.

1). Векторы и направлены по одной прямой в разные стороны (рис.1); следовательно, результирующая индукция определяется по формуле (1). Приняв положение вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем:

B ₁ = -80 мкТл, B ₂ = 80 мкТл.

Подставив эти значения B ₁ и B ₂ в формулу (1), получим:

B = B ₁ + B ₂ = 0.

2). Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (рис.2). Поэтому можем записать:

B ₁ = B ₂ = -80 мкТл.

Подставив эти значения B ₁ и B ₂ в формулу (1), получим:

B = B ₁ + B ₂ = -160 мкТл.

3). Векторы индукций магнитных полей, создаваемых точками в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис.3). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдем:

. (3)

Подставив в формулу (3) значения модулей B ₁ и B ₂ и вычислив, получим:

В = 113 мкТл.

Ответ: 1) B = 0.

2) B = -160 мкТл.

3) B = 113 мкТл.

Задача 8

Электрон, имея скорость V = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B = 30 мТл под углом α = 30º к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции и скорости частицы:

, (1)

где q – заряд частицы.

В случае если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде:

.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости, то модуль скорости будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), остается постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей V_┴ скорости (см. рисунок); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью V _║:

V _┴ = V sin α, V _║ = V cos α. (2)

В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем следующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение a_n. По второму закону Ньютона,

F = m^.a_n,

где F = |e|V_┴ B, и a_n = V²_┴/R. Тогда

,

Откуда после сокращения на V _^ находим радиус винтовой линии:

или (3)

Подставив значения величин m, V, B, e и α и произведя вычисления, получим

R = 0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью V _║ за время, которое понадобилось электрону для того, чтобы совершить один оборот,

, (4)

где T = 2π^. R / V _┴ - период вращения электрона. Подставим это выражение периода вращения в формулу (4), найдем

. (5)

Подставим в (5) значения величин R, π и α и вычислив, получим

h = 2,06 мм.

Ответ: R = 0,19 мм,

h = 2,06 мм.

Задача 9

Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно установится в однородном магнитном поле B = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно повернуть виток на угол α = π/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

A = I ^.(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т.е.

A_вн = I ^.(Ф₂ – Ф₁). (1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующих на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента контура сонаправлен с вектором (рис.1) и магнитный поток Ф₁ максимален (α = 0, cos α = 1), т.е.

Ф₁ = BS (где S – площадь контура). (2)

В конечном положении (рис.2) вектор перпендикулярен вектору (α = π/2, cos α = 0) и магнитный поток Ф₂ = 0. (3)

Перепишем выражение (1) с учетом (2) и (3):

A_вн = I^. Ф₁ = IBS. (4)

Площадь контура равна S = π d ²/4, тогда работа

A_вн = IB π d ²/4. (5)

Подставим численные значения в (5) и произведем вычисления:

.

Ответ: A_вн = 2,5 мДж.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: