Расчёт цепей постоянного тока. Правила Кирхгофа

Закон Ома для неоднородного участка цепи позволяет рассчитать любую сложную разветвлённую цепь постоянного тока. Такие расчёты удобно проводить, пользуясь двумя правилами, сформулированными Кирхгофом.

Рассмотрим произвольную разветвлённую цепь, часть которой изображена на рис. 5. Первое правило Кирхгофа относится к узлам, т.е. точкам, в которых сходится не менее трёх проводников. Вследствие закона сохранения заряда в любой точке цепи, в том числе и в любом узле, при прохождении постоянного тока не должно происходить накопления электрического заряда. Поэтому сумма притекающих к узлу токов должна равняться сумме утекающих. Если условиться считать подходящие к узлу тока положительными, а исходящие из узла – отрицательными, то можно сказать, что алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю:

,

где n обозначает число проводов, сходящихся в узле.

Второе правило Кирхгофа относится к произвольным замкнутым контурам, которые можно выделить в рассматриваемой разветвлённой цепи. Рассмотрим контур ABCA на рис. 5. Поскольку при расчёте мы будем использовать закон Ома для неоднородного участка цепи, то, как мы видели, направление токов в неразветвлённых участках можно задать произвольно, например, так, как на рис. 5. (Напомним, что если в результате расчёта какой-либо из токов окажется отрицательным, то это означает, что в действительности ток на этом участке течёт в противоположную сторону.) Запишем закон Ома для каждого из неразветвлённых участков контура ABCA. Обозначив потенциалы узлов через j_A, j_B и j_C, получим

I ₁ R ₁ = j_B – j _A + e ₁,

I ₂ R ₂ = j_B – j _C – e ₂,

I ₃ R ₃ = j_C – j _A + e ₃.

В этих формулах через R_k обозначено полное сопротивление участка, по которому течёт ток I_k. Легко заметить, что если первое уравнение (I ₁ R ₁ = j_B – j _A + e₁) умножить на –1 и затем сложить почленно все три уравнения, то потенциалы узлов выпадают:

– I ₁ R ₁ + I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ = – e ₁ – e ₂ + e ₃.

Глядя на формулу – I ₁ R ₁ + I ₂ R ₂ + I ₃ R ₃ = – e ₁ – e ₂ + e ₃, нетрудно сформулировать правило, с помощью которого можно было бы непосредственно получить это равенство: нужно выбрать определённое направление обхода замкнутого контура (например, по часовой стрелке) и приравнять алгебраическую сумму произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре. При этом ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным в противоположном случае; ЭДС батареи берётся со знаком «+», если она повышает потенциал в цепи в направлении обхода контура, и со знаком «–», если понижает. Это и есть второе правило Кирхгофа, которое можно записать так:

,

где n – число неразветвлённых участков в рассматриваемом контуре (совпадающее с числом встречающихся в этом контуре узлов), а m – число ЭДС, действующих в контуре.

Рис. 5. Часть разветвлённой электрической цепи

Теперь можно сформулировать общие правила расчёта произвольных разветвлённых цепей постоянного тока.

1. Обозначить на схеме токи во всех неразветвлённых участках, произвольно задавая им направление.

2. Согласно первому правилу Кирхгофа написать уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для последнего узла писать не нужно, так как оно является следствием предыдущих).

3. Согласно второму правилу Кирхгофа составить уравнения для всех простых контуров, которые можно выделить в данной цепи и которые не получаются наложением уже рассмотренных. Простым считается такой контур, при обходе которого мы побываем в каждой точке только по одному разу. В правильно выбранной системе контуров каждый участок цепи должен фигурировать, по крайней мере, в одном из контуров.

4. Если в результате решения получившейся системы уравнений какие-либо токи окажутся отрицательными, то в действительности их направление противоположно выбранному на схеме.

Для иллюстрации применения правил Кирхгофа рассмотрим условия работы батареи из двух параллельно соединённых источников (рис. 6). Параметры схемы указаны на рисунке.

Рис. 6. Параллельное соединение источников тока

I ₁ r ₁ + I R = e ₁,

I ₁ r ₁ – I ₂ r ₂ = e ₁ – e ₂.

Мы получили систему их трёх уравнений с тремя неизвестными токами I ₁, I ₂ и I. Выражаем I ₂ из уравнения I ₁ + I ₂ – I = 0 и подставляем в I ₁ r ₁ – I ₂ r ₂ = e ₁ – e ₂:

I ₁(r ₁ + r ₂) – I r ₂ = e ₁ – e ₂.

Умножая I ₁ r ₁ + I R = e ₁ на r ₂, а I ₁(r ₁ + r ₂) – I r ₂ = e ₁ – e ₂ на R и складывая их почленно, находим I ₁:

I ₁ r ₁ r ₂ + I ₁ R (r ₁ + r ₂) = e ₁ r ₂ + e ₁ R – e ₂ R,

.

Исключая аналогично из уравнений I ₁ r ₁ + I R = e ₁ и I ₁(r ₁ + r ₂) – I r ₂ = e ₁ – e ₂ ток I ₁, находим I:

I ₁ r ₁ + I R – (I ₁(r ₁ + r ₂) – I r ₂) = e ₁ – (e ₁ ‑ e ₂),

I R – I ₁ r ₂ + I r ₂ = e ₂,

,

Выражение для I₂, которое просто находится из уравнения I ₁ + I ₂ – I = 0:

,

можно, учитывая симметрию схемы, написать и непосредственно, заменяя в индексы 1 «2

.

Выражение показывает, что ток I через нагрузку R всегда положителен и, следовательно, течёт в направлении, указанном на схеме. Из и видно, что при e ₁ = e ₂ токи через источники I ₁ и I ₂ тоже положительны. Если же, например, e ₁ > e ₂, то I ₁ всегда положителен, в то время как ток I ₂ может быть и отрицательным. В таком случае он течёт в направлении, противоположном указанному на рис. 6. Это означает, что источник e ₂ не отдаёт энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от источника e ₁.

Выясним, при каких условиях источник e ₂ (при e ₁ > e ₂) будет работать нормально, т.е. отдавать энергию во внешнюю цепь. Из видно, что I ₂ > 0 при e ₂(r ₁ + R) – e ₁ R > 0. Переписав это условие в виде

,

замечаем, что второй источник работает нормально, если его ЭДС больше напряжения U на зажимах первого источника в схеме, где только первый источник замкнут на сопротивление R. Полученный результат легко понять из следующих простых соображений. Пусть подключен к сопротивлению R только первый источник. Если напряжение на его зажимах больше e ₂, то, подключая e ₂ параллельно e ₁, мы фактически ставим второй источник на «зарядку».

Из формулы видно, что условие нормальной работы второго источника зависит от сопротивления нагрузки R: при малом R он работает нормально; при некотором значении R, определяемом условием , токчерез e ₂ обращается в нуль:

,

т.е. при (из следует, что , откуда ) подключение или отключение этого источника ничего не меняет в остальной цепи. При больших значениях R подключение источника e ₂ приводит к уменьшению тока через нагрузку R.

Два параллельно соединённых источника тока можно заменить одним эквивалентным источником, который обеспечит во внешней цепи такой же ток. Параметры такого источника легко определить с помощью формулы Переписывая её в виде

и сравнивая с выражением для тока, создаваемого эквивалентным источником ЭДС e и внутренним сопротивлением r,

,

находим, что значения e и r эквивалентного источника определяются формулами

, .

В частности, для одинаковых параллельно соединённых источников (e ₁ = e ₂, r ₁ = r ₂) эквивалентный источник, как видно из , , имеет ту же ЭДС:

и вдвое меньшее внутреннее сопротивление:

.

В случае неравных ЭДС e ₁ и e ₂ (e ₁ ¹ e ₂) величина e имеет промежуточное значение.

Рассмотрим теперь условия работы последовательно соединённых источников тока. Для этого исследуем цепь, схема которой показана на рис. 7. Выясним, всегда ли наличие второго источника с ЭДС e ₂ приводит к увеличению тока в цепи, первоначально содержащий только один источник с ЭДС e ₁. Очевидно, что второй источник имеет смысл подключить, только если

.

Умножая обе части этого неравенства на положительную величину (r ₁ + r ₂ + R)(r ₁ + R) и приводя подобные члены, получаем

e ₂(r ₁ + R) > e ₁ r ₂,

откуда

.

Смысл этого неравенства очевиден: слева стоит ток короткого замыкания второго источника, а справа – ток в цепи, содержащей только первый источник. Итак, последовательное подключение второго источника целесообразно только в том случае, когда ток его короткого замыкания больше тока в цепи, в которую мы его собираемся включить.

Рис. 7. Последовательное соединение источников тока

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: