ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Изотермический процесс. По определению этого процесса ΔT =0 и, следовательно, внутренняя энергия в изотермическом процессене изменяется ΔU = 0По определению этого процесса Δ T =0 и, следовательно, внутренняя энергия в изотермическом процессене изменяется Δ U = 0. Тогда по первому началу δ Q = А. Для вычисления работы в изотермическом процессетеперь нужно использовать интегрирование, ведь давление по уравнению состояния газа р = ν RT / V само зависит от объема. Поэтому, вынося постоянные, имеем: (2.11) Подчеркнем еще раз, что величины, которые вычислялись, не равноправны. Внутренняя энергия — характеристика состояния — определяется внутренним движением молекул газа. Работа и теплота — характеристики процесса перехода системы из начального состояния в конечное. Адиабатный процесс
В изохорном процессе не совершается работа. Естественно рассмотреть процесс, в котором не передается теплота. Адиабатный (или адиабатический) процесс — это процесс, при котором не происходит передачи теплоты между газом (системой) и внешними телами. Не вдаваясь в анализ процесса теплопередачи, который не входит в нашу программу, отметим лишь, что быстрые, «горячие» молекулы не успевают ни войти в газ, ни выйти из него. С другой стороны, конечно, предполагается, что адиабатный процесс, как и рассмотренные ранее изопроцессы, протекает столь медленно, что по всему газу (системе) успевают установиться одинаковые значения параметров. Переход от одного значения параметров к другому происходит обратимым образом через равновесные состояния. Итак, δ Q = 0. Тогда по первому началу dU = –δ А или (2.12) Еще одну связь между малыми изменениями параметров можно найти, продифференцировав уравнение состояния pV = ν RT. По формуле дифференцирования произведения получим Vdp + pdV = ν RdT. (2.13) Исключая ν dT, получим из (2.12) дифференциальное уравнение адиабатического процесса: (2.14) Разделяя переменные, найдем, (2.15) Напомним, что для двухатомных газов молярные теплоемкости при постоянном объеме сV и постоянном давлении ср будут сV = 5 R /2, ср = сV + R = 7 R /2. Отношение теплоемкостей называется показателем адиабаты (называемым также коэффициентом Пуассона)и обозначается γ. Для двухатомных газов γ = ср / сV = 7/5 = 1,4. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение от параметров начального (первого) состояния V 1и р 1до параметров конечного (второго) состояния V 2и р 2, получим (2.16) или (2.17) Так как показатель адиабаты γ > 1, то, сравнивая изотермический (с показателем, равным единице, рV =const) и адиабатный процессы, видим (рис. 2.4), что на V – р -диаграмме адиабатный процесс спадает быстрее (круче). Рис. 2.4. Изотерма (2) и адиабата (1) Вычислим работу при адиабатном процессе, используя, что в любом состоянии адиабатного процесса (2.18) Найдем, интегрируя, (2.19) Как уже отмечалось, изменение внутренней энергии в адиабатном процессеравно убыли работы, совершенной газом Δ U = – А. Энтропия
Анализ изотермического процесса показывает, что теплота может выделяться (или поглощаться) и без изменения температуры, поэтому запись изменения теплоты в виде, пропорциональном изменению температуры δ Q = С Δ Т, по крайней мере, не универсальна. Кроме того, записав приращение теплоты как δ Q = dU + pdV, (2.20) что прямо следует из первого начала, можно заметить: справа стоят такие величины, значения которых для тела в целом, например в изобарном процессе, равны сумме значений тех же величин для отдельных частей этого тела. В самом деле, энергия целого равна сумме энергий частей, объем целого также равен сумме объемов частей. Температура, очевидно, таким свойством не обладает. Если сложить две части тела, одну нагретую до 340 К (нагретую воду), а другую нагретую до 310 К (палец), то вместе они нагревания до 650 К не дадут. С другой стороны, теплота δ Q соответствует (например, в изохорном процессе) изменению энергии dU, а температура Т — средней энергии, поэтому отношение δ Q / T должно определяться числом состояний, в которых могут быть такие «средние» энергии. Итак, введем формально величину S, называемую энтропией, по формуле (2.21) По своему смыслу энтропия должна быть связана с числом возможныхсостояний энергии в теле. Число возможных состояний энергии, очевидно, связано «просто» с числом возможных сочетаний Γчастей той или иной системы. Число сочетаний определяется числом частиц-молекул и их энергетическими состояниями, например уровнями энергии. Оказывается, что S = k ln Γ. (2.22) Эта формула была открыта Больцманом, и k — все та же постоянная Больцмана: k = R / NA = 1,4 ⋅ 10–23 Дж/К. (По размерности подходит!) Теперь от рассуждений перейдем к вычислениям, и тогда, может быть, станет яснее. Вычислим энтропию идеального газа. Это система, удовлетворяющая уравнению состояния р / Т = ν R / V и имеющая внутреннюю энергию U = сV ν T. Из первого начала: (2.23) Интегрируя (причем помня, что интеграл дает логарифм), получим: (2.24) Из этой формулы видно, что энтропия — функция состояния, т. е. каждому состоянию газа соответствует определенная энтропия (как, например, внутренняя энергия U). Как и многие другие величины в физике (например, потенциал да и потенциальная энергия), энтропия определена лишь с точностью до постоянной — постоянной S 0 — значения энтропии, определяемой особо. Определение S 0выходит за рамки этого курса. Практически важно знать только разность энтропий. Так обстоит и, например, с потенциалом электрического поля, важна лишь разность потенциалов Δφ, определяющая напряжение U. Вычислим разность энтропий двух состояний (разность логарифмов свернется в частное): (2.25) Теперь легко получить формулы для изменения энтропии в различных, изученных ранее изопроцессах. Найдем изменение энтропии в изотермическом процессе (при T 2/ T 1 = 1): (2.26) Изменение энтропии в изохорном процессе (при V 2/ V 1=1): (2.27) Изменение энтропии в изобарном процессе, когда по закону Гей-Люссака V 2/ V 1 = T 2/ T 1, подставив, увидим, что (2.28) Здесь использовано, что по закону Майера теплоемкость при постоянном давлении (изобарная) равна сp = сV + R. На диаграмме S – T (рис. 2.5), учитывая, что cp > cV, изобара пройдет выше изохоры при одинаковых исходных состояниях. На такой диаграмме (рис. 2.6) теплота — это площадь между кривой и осью энтропии. Рис. 2.5. Диаграмма S – T: (1) — изобара; (2) — изохора Рис. 2.6. Теплота на диаграмме S – Т Наконец, изменение энтропии в адиабатном процессе (при dQ =0), очевидно, (2.29) Итак, в адиабатном процессе энтропия не изменяется. Часто именно это положение используют как определение адиабатного процесса. Легко увидеть, что формула (2.29) есть просто другая запись закона адиабатного процесса. Сокращая ν сV и «загоняя» все под логарифм (в показатель степени), а затем опуская логарифм, получим: (2.30) Это соотношение с помощью уравнения состояния преобразуется в (2.31) Получился уже выведенный ранее закон и постоянная Пуассона, равная γ = cp / cV. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|