ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Примеры решения задач по теме. «Механические колебания и волны»«Механические колебания и волны»
Задача 1. К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.
Дано: k = 200 Н/м m = 1 кг А0 = 10 см = 0,1 м amах -?; amin -?
Решение. Под действием силы упругости груз совершает свободное гармоническое колебание, уравнение которого запишем в виде: . (1) где А0 – амплитуда колебания, w – циклическая частота. Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза , (2) после дифференцирования скорости по времени определим ускорение:
. (3)
Так как (4)
то:
. (5)
Ускорение имеет максимальное значение при x = A0, т.е. при наибольшем отклонении от положения равновесия: . (6) В положении равновесия при x = 0 ускорение . Проверка размерности расчетной формулы:
.
Подставляя числовые значения в выражение (6), получим:
.
Ответ: наибольшее ускорение груза равно 20 , наименьшее ускорение груза равно нулю.
Задача 2. Материальная точка участвует одновременно в двух перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:
(1) , (2)
где А1 = 1 см; 1 = с-1; А2 = 2 см; 2 = /2 с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Дано: ;
А1 = 1 см = 0,01м; А2 = 2 см = 0,02м; w1 = p с-1; w2 = p/2 с-1 y= f (х)? Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла: . (3)
Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать:
; , откуда или . (3)
Выражение (3) есть уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения (I) и (2), амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси ОУ - 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты – от -2 до + 2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения y, соответствующие ряду значений x удовлетворявших условию 1: x y = х y = - 1 0 0 ± 1,41 - 0,75 ± 0,71 0,5 ± 1,73 - 0,5 ± 1 1 ± 2
1 x -1
Рис.
Начертив координатные оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки, та представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд. Далее определим направление движения точки. Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с. Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент (t = 0) имеем: х = 1, у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: х = -1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = -2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении. Ответ: уравнение движения точки есть уравнение параболы; траектория движения точки изображена на рисунке. Задача 3. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить период колебаний и частоту.
Дано: ; __________________
Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2p. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной (1) Решая это равенство относительно l, получаем:
(2) По условию задачи D j = p. Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим:
.
Скорость u распространения волны связана с длиной волны l и периодом колебаний Т отношением:
, (3)
где – частота колебаний Из выражения (3) определяем частоту колебаний: . Период колебаний .
Проверка размерности расчетных формул:
;
.
Вычисление: ; Ответ: частота колебаний равна 50 Гц, период колебаний равен 0,02 с.
Задача 4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания около точки О (рис.). Найти период колебаний, если они происходят в плоскости рисунка. Дано: R - радиус кольца _____________________ T -?
Рис.
Решение.
При отклонении центра кольца от вертикали, проходящей через точку подвеса (рис.) на небольшой угол () на кольцо действует момент силы тяжести, возвращающий его в положение равновесия.
. (1)
Основное уравнение динамики твердого тела выглядит в данном случае следующим образом: , (2)
где М - момент силы тяжести, J – момент инерции кольца относительно точки O. Согласно теореме Штейнера (3) где – момент инерции кольца относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости кольца; .
Следовательно, (4)
Подставляя (1) и (4) в (2), получим:
, (5)
откуда приходим к уравнению малых колебаний кольца:
, (6) где - круговая частота колебаний. (7)
Из формулы (7) выражаем период колебания кольца: .
Ответ: период колебаний кольца Задача 5. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна , а когда удаляется - . Принимая, что скорость звука известна, определить: 1) скорость электровоза; 2) собственную частоту колебаний гудка.
Дано: - частота воспринимаемого сигнала при приближении электровоза; - частота воспринимаемого сигнала при удалении электровоза; - скорость звука. ________________ 1) -? 2) -?
Решение.
Согласно формуле, выражающей частоту воспринимаемого сигнала в эффекте Доплера:
, (1)
где - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; - частота звука, посылаемого источником; - скорость движения приемника звука; - скорость движения источник звука; - скорость звука.
По условию задачи скорость приемника , следовательно,
, (2)
(электровоз приближается к наблюдателю); (3)
(электровоз удаляется от наблюдателя). (4)
Из уравнений (3) и (4) выражаем скорость источника звука:
. (5)
, (6)
. (7)
Ответ: скорость электровоза , собственная частота колебаний гудка . Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|