Примеры потоков энергии

В электромагнитной волне величина В равна (1/с) Е, а поскольку они направлены под прямым углом, то величина (Е ´ В) равна просто Е ²/ с. Таким образом, для света поток энергии в секунду через единичную поверхность равен

S = e₀ cE ²

В световой волне, где Е = Е ₀ cos w(t - x / c), средняя скорость потока энергии через единичную площадь á S ñ, которая называется «интенсивностью» света, равна среднему значению электрического поля, помноженному на e₀ c á Е ²ñ

Воспользовавшись тем, что в световой волне сВ = Е, получаем

Однако вектор Е изменяется во времени, поэтому средняя плотность энергии равна á u ñ = e₀á Е ²ñ. Далее, свет распространяется со скоростью с, поэтому можно думать, что энергия, проходящая в секунду через квадратный метр, равна произведению с на количество энергии в кубическом метре, т.е. á S ñ = e₀ c á Е ²ñ. Снова получили уже известное выражение.

Рассмотрим в качестве второго примера поток энергии в медленно заряжающемся конденсаторе. Возьмем обычный конденсатор с круглыми параллельными пластинами (рисунок). Между ними создается почти однородное электрическое поле, которое изменяется с течением времени. Полная электромагнитная энергия внутри конденсатора в любой момент равна произведению плотности энергии u на объем. Если радиус пластин равен а, а расстояние между ними h, то полная энергия. заключенная между пластинами, будет

Когда конденсатор заряжается, внутренний объем приобретает энергию со скоростью

Так что должен существовать поток энергии, направленный откуда-то со стороны внутрь объема. Естественно думать, что он идет от проводов, заряжающих конденсатор, но это не так. Поток не может идти с этой стороны, так как Е перпендикулярно к пластинам, а поэтому Е ´ В должно быть параллельно им. Из последнего уравнения Максвелла в интегральной форме можно получить выражение для магнитного поля на краю конденсатора

Направление магнитного поля показано на рисунке. Таким образом, на краях конденсатора, как видно из рисунка, возникает поток энергии, пропорциональный Е ´ В. Так что энергия на самом деле втекает в конденсатор не со стороны проводов, а со стороны окружающего его пространства. Проверим, согласуется ли полный поток через всю поверхность между краями пластин со скоростью изменения внутренней энергии. Площадь поверхности равна , а абсолютная величина равна

так что полный поток энергии будет . Это совпадает с выражением полученным ранее. Оказывается при зарядке конденсатора энергия идет туда не через провода. а через зазор между краями пластин.

В качестве следующего примера рассмотрим провод с ненулевым сопротивлением, по которому течет ток. Поскольку провод обладает каким-то сопротивлением, то вдоль него действует электрическое поле, которое порождает ток. А в результате падения потенциала вдоль провода существует также параллельное его поверхности электрическое поле вне провода (рисунок). Кроме того, наличие тока порождает также магнитное поле, направленное по окружности вокруг провода. Векторы Е и В направлены под прямым углом, а поэтому вектор Пойтинга направлен радиально, как это показано на рисунке. Внутрь проводника со всех сторон втекает энергия. Она равна энергии, теряемой проводником в виде тепла. Интуиция подсказывает, что электрон пополняет свою энергию за счет «давления», которое толкает его вдоль провода. Так что энергия как будто должна течь по проводу. А теория говорит, что на самом деле на электрон действует поле, создаваемое далекими зарядами, и электроны теряют свою энергию, расходуемую на тепло, именно из этого поля.

Еще один случай, кажущийся странным. Возьмем точечный заряд, который покоится вблизи центра магнитного бруска (рисунок). Все находится в покое, так что энергия тоже не изменяется со временем; Е и В постоянны. Но вектор Пойтинга утверждает, что здесь есть поток энергии, так как Е ´ В не равно нулю. Поток энергии циркулирует вокруг этой системы. Но никакого изменения энергии не происходит. Все, что втекает в любой объем, снова вытекает из него. Это напоминает круговой поток несжимаемой воды. Итак, в такой, казалось бы, статической ситуации есть поток энергии. А, может быть, это все-таки не так уж удивительно, если вспомнить, что «статический» магнит представляет на самом деле совокупность циркулирующих токов, образованных отдельными электронами.

Импульс поля.

Имеется теорема, которая говорит: каков бы ни был поток энергии любого вида (энергия поля или какой-то другой сорт энергии), произведение ее количества, прошедшего через единицу площади в единицу времени, на 1/ с ² равно импульсу в единице объема пространства. В случае электродинамики эта теорема говорит, что плотность импульса g равно вектору Пойтинга, поделенному на с ²:

Рассмотрим один из многих примеров и рассуждений, убеждающих в справедливости этой общей теоремы.

Возьмем множество заключенных в ящик частиц. Пусть их будет N штук на кубический метр, и пусть они движутся вдоль ящика со скоростью v. Рассмотрим теперь воображаемую плоскость. перпендикулярную к v. Поток энергии через единицу площади этой плоскости в секунду равен Nv (число частиц, пересекающих плоскость за секунду), умноженному на энергию каждой частицы . Но импульс каждой частицы равен . Отсюда плотность импульса составляет , что, в соответствии с теоремой, равно потоку энергии, деленному на с ².

Пусть падающая нормально на некоторое тело электромагнитная волна полностью поглощается этим телом. Тогда единице поверхности тела сообщается в единицу времени импульс волны, заключенный в цилиндре с площадью основания равной единице, и высотой с. Этот импульс равен произведению плотности потока импульса g на объем цилиндра с, т.е. S / c, или плотности u энергии электромагнитного поля. Вместе с тем импульс, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, равен давлению р на поверхность. Эта величина пульсирует с большой частотой. Поэтому практически может быть измерено ее среднее по времени значение. Таким образом, р = á u ñ. Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.

Величина давления, которое свет оказывает на тела, очень мала. Измерить световое давление впервые удалось П.Н.Лебедеву в 1900 году. Результаты соответствовали теории Максвелла.

Уравнения Максвелла в диэлектрике

Наличие в веществе поляризации означает, что там возникают поляризационные заряды и токи, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей.

Ранее в электростатике мы установили, что когда поляризация неоднородна, возникает нескомпенсированный поляризационный заряд в объеме диэлектрика:

Когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый из осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда q_e на скорость v. Когда таких зарядов в единице объема N штук, то они создают плотность тока j _пол = Nq_e v =

Удобно условно разделить заряды на свободные и связанные. Связанными являются поляризационные поверхностные и объемные заряды, которые привязаны к атомам диэлектрика. Свободными являются все остальные заряды.

Используя первое уравнение Максвелла, справедливое во всех случаях, можно записать:

e = 1+c - диэлектрическая проницаемость диэлектрика

Вместо напряженности Е электрического поля в ряде случаев удобно ввести новую векторную величину D, называемую электрическим смещением, зависящую только от распределения свободных зарядов:

D = e₀ E + P = ee₀ E (последнее выражение является попыткой отразить свойства вещества с помощью диэлектрической проницаемости e, которая может в общем случае зависеть от напряженности поля, направления в пространстве, скорости изменения электрического поля и т.д.).

Для электрического смещения закон Гаусса выглядит так же, как и для напряженности электрического поля:

Ñ× D = r _своб

В плотность тока, фигурирующую в уравнениях Максвелла для , также вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому можем записать:

j = j _пол + j _своб

Тогда уравнение Максвелла приобретает вид:

Последнее уравнение, с учетом так называемых молекулярных токов (см. раздел «Магнитостатика»), записывают относительно напряженности магнитного поля Н:

Таким образом, полная система уравнений Максвелла для диэлектриков выглядит так:

Ñ× D = r _своб

Именно в таком виде уравнения были представлены Максвеллом и часто фигурируют в таком виде до настоящего времени (см., например, курс физики Савельева).

Необходимо дополнить эту систему уравнениями, которые связывают искусственно введенные величины D и H с «настоящими» полями Е и В:

D = e₀e E

B = m₀m H

Однако, эти последние уравнения, являющиеся попыткой отразить свойства вещества, верны лишь приближенно для некоторых веществ, и то лишь когда поля не изменяются слишком быстро со временем. (Для синусоидально изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом e и m комплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно).

Электромагнитная волна в диэлектриках

Из уравнений Максвелла в диэлектриках, считая плотности свободных зарядов и токов равными 0, а магнитную и диэлектрическую проницаемости e и m среды постоянными, можно получить одномерные волновые уравнения для Е и Н в виде:

Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны. Следовательно, уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В вакууме (т.е. при e и m, равным единице) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в пустоте с. Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости v в некоторой среде называется абсолютным показателем преломления этой среды и обозначается буквой n. Для большинства прозрачных веществ m практически не отличается от единицы. Поэтому можно считать, что .

Для связи мгновенных значений Е и Н в волне можно получить соотношение:

Отсюда следует соотношение между амплитудами электрического и магнитного полей в электромагнитной волне Н_m ~ E_m = nE_m

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: