Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна 1 страница

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Кафедра «Теоретична механіка»

теоретична механіка

РОЗДІЛИ «СТАТИКА», «КІНЕМАТИКА», «ДИНАМІКА»

Методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів
до тестового контролю

Укладачі: Л. Г. Маслєєва

О. В. Султан

для студентів центру безвідривної освіти

Дніпропетровськ 2012

УДК 531

Укладачі:

доц. Маслєєва Людмила Григорівна,

доц. Султан Олександр Васильович

Рецензенти:

докт. техн. наук, проф. С. Є. Блохін (ДВНЗ «НГУ»)

канд. техн. наук, доц. В. А. Татарінова (ДІІТ)

Теоретична механіка. Розділи «Статика», «Кінематика», «Динаміка» [Текст]: методичні вказівки та завдання для самостійної підготовки студентів до тестового контролю / уклад. Л. Г. Маслєєва, О. В. Султан; Дніпропетр. нац. ун-т залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна – Д.: Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, 2012. – 43 с.

Методичні вказівки містять приклади розв’язання типових тестових завдань із розділів «Статика», «Кінематика», «Динаміка». Подається також набір завдань для самостійної підготовки студентів до комп’ютерного тестування із застосуванням системи «Прометей».

Для студентів центрубезвідривної освіти, що вивчають скорочений (односе-местровий) курс теоретичної механіки.

Іл. 56. Бібліогр.: 4 назви.

ВСТУП

Тестові завдання та методичні вказівки до їх розв’язання розроблені для студентів центрубезвідривної освіти, які вивчають скорочений (односеме-стровий) курс теоретичної механіки. Передбачається, що підсумковий контроль знань студентів – екзамен, залік – проводиться у формі комп’ютерного тестування із застосуванням системи «Прометей».

У методичних вказівках наведено перелік основних теоретичних питань із розділів «Статика», «Кінематика», «Динаміка», знаннями з яких повинен обов’язково володіти студент для успішного тестування, а також приклади розв’язання типових тестових завдань з таких тем: рівновага тіла під дією плоскої довільної системи сил; кінематика точки (координатний та природний спосіб завдання руху точки); обертальний рух твердого тіла; динаміка точки (основне рівняння динаміки точки), динаміка системи (теорема про зміну кінетичної енергії системи).

Для самопідготовки студентів до тестування та самоконтролю в методичних вказівках наведено також набір тестових завдань, правильні відповіді до яких подаються в розділі «Відповіді до тестових завдань».

1. Теоретичні питання

Статика

1. Предмет статики. Аксіоми статики. Аксіома про в’язі.

1.1. Що таке в’язь?

1.2. Яку силу називають реакцією в’язі? Яку силу називають активною?

1.3. Типи в’язей (типи опор) та їх реакції.

1.3.1. Опора шарнірно-рухома.

1.3.2. Опора шарнірно-нерухома.

1.3.3. Опорний стержень.

1.3.4. Опорна поверхня.

1.3.5. Жорстке защемлення.

1.4. Як формулюється аксіома про в’язі?

2. Проекція сили на вісь.

2.1. Як обчислюється проекція сили на вісь? Як визначається знак проекції?

2.2. У якому випадку проекція сили на вісь дорівнює нулю?

2.3. Як обчислюється величина сили, якщо відомі її проекції на координатні осі?

3. Плоска збіжна система сил. Рівнодіюча. Умови рівноваги тіла (точки) під дією плоскої збіжної системи сил.

3.1. Яку силу називають рівнодіючою?

3.2. Як визначається рівнодіюча збіжноїсистеми сил геометричним способом?

3.3. Як визначається рівнодіюча збіжної системи сил аналітичним способом?

3.4. Скільки рівнянь рівноваги описують рівновагу тіла (точки) під дією плоскої збіжної системи сил?

3.5. Який вигляд мають умови рівноваги тіла (точки) під дією плоскої збіжної системи сил?

4. Момент сили відносно центра.

4.1. Як обчислюється величина моменту сили відносно центра?

4.2. Що називають плечем сили відносно центра?

4.3. Як визначається знак моменту сили відносно центра (за традиційним правилом знаків)?

4.4. У якому випадку момент сили відносно центра дорівнює нулю?

4.5. Як формулюється теорема Варіньона про момент рівнодіючої плоскої збіжної системи сил відносно центра?

5. Теорія пар.

5.1. Яка система сил називається парою?

5.2. Як визначається величина моменту пари? Що називають плечем пари?

5.3. Як визначається знак моменту пари (за традиційним правилом знаків)?

5.4. Чи залежить момент пари від положення центра моментів?

5.5. Які пари називають еквівалентними?

6. Плоска довільна система сил. Умови рівноваги тіла під дією плоскої довільної системи сил.

6.1. Скільки рівнянь рівноваги описують рівновагу тіла під дією плоскої довільної системи сил?

6.2. Який вигляд мають умови рівноваги тіла під дією плоскої довільної системи сил?

Кінематика

7. Предмет кінематики. Кінематика точки. Основна задача кінематики точки.

7.1. Координатний спосіб задання руху точки (випадок руху точки у площині).

7.1.1. Який вигляд має закон руху точки?

7.1.2. Як визначається траєкторія руху точки із закону руху?

7.1.3. Які параметри визначають положення точки відносно тіла відліку в заданій системі координат?

7.1.4. На які складові вектори розкладається вектор швидкості точки? За якими формулами визначаються величини цих складових векторів із закону руху?

7.1.5. За якою формулою визначається величина вектора швидкості точки?

7.1.6. Як визначається напрямок вектора швидкості точки?

7.1.7. На які складові вектори розкладається вектор прискорення точки? За якими формулами визначаються величини цих складових векторів із закону руху?

7.1.8. За якою формулою визначається величина вектора прискорення точки?

7.1.9. Як визначається напрямок вектора прискорення точки?

7.2. Природний спосіб задання руху точки.

7.2.1. Який вигляд має закон руху точки?

7.2.2. Який параметр визначає положення точки на траєкторії (відносно тіла відліку)?

7.2.3. Як визначається швидкість точки із закону руху? Як направлений вектор швидкості?

7.2.4. На які складові вектори розкладається вектор повного прискорення точки?

7.2.5. За якою формулою визначається тангенціальне прискорення точки? Як направлений вектор тангенціальногоприскорення? Коли воно дорівнює нулю?

7.2.6. Що характеризує тангенціальне прискорення точки? Коли воно виникає?

7.2.7. За якою формулою визначається нормальне прискорення точки? Як направлений вектор нормальногоприскорення? Коли воно дорівнює нулю?

7.2.8. Що характеризує нормальне прискорення точки? Коли воно виникає?

7.2.9. За якою формулою визначається величина повного прискорення точки?

7.2.10. Який рух точки називається рівномірним і який р івнозмінним?

7.2.11. Як називається рух точки, коли її швидкість і тангенціальнеприскорення мають однакові знаки, і як, коли різні знаки?

8. Кінематика твердого тіла. Найпростіші рухи твердого тіла (поступальний рух, обертальний рух навколо нерухомої осі).

8.1. Поступальний рух твердого тіла.

8.1.1. Який рух твердого тіла називається поступальним?

8.1.2. Який вигляд має закон поступального руху тіла?

8.1.3. По яким траєкторіям рухаються точки тіла під час його поступального руху?

8.1.4. Як розподіляються швидкості і прискорення точок тіла під час його поступального руху?

8.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

8.2.1. Який рух твердого тіла називається обертальним?

8.2.2. Який вигляд має закон обертального руху тіла?

8.2.3. По яким траєкторіям рухаються точки тіла під час його обертального руху?

8.2.4. Як визначається кутова швидкість тіла із закону руху?

8.2.5. Як визначається кутове прискорення тіла із закону руху?

8.2.6. Який обертальний рух тіла називається рівномірним і який рівнозмінним?

8.2.7. Як називається обертальний рух тіла, коли його кутова швидкість і кутове прискорення мають однакові знаки, і як, коли різні знаки?

8.2.8. За якою формулою визначається тангенціальне прискорення точки тіла і за якою нормальне прискорення точки тіла?

8.2.9. Через які кутові характеристики і за якою формулою визначається повне прискорення точки тіла?

8.2.10. Як розподіляються швидкості та прискорення (тангенціальні, нормальні, повні) точок тіла під час його обертального руху?

Динаміка

9. Предмет динаміки. Динаміка точки. Дві основні задачі динаміки точки.

9.1. Як формулюється перший закон Ньютона (закон інерції), другий закон Ньютона, третій закон Ньютона (про дію та протидію)?

9.2. Який вигляд має основне рівняння динаміки точки у векторній формі?

9.3. Який вигляд має основне рівняння динаміки точки у проекціях на координатні осі (у плоскій системі координат xОy)?

9.4. Який вигляд мають диференціальні рівняння руху точки у проекціях на координатні осі (у плоскій системі координат xОy)?

9.5. Як формулюється перша задача динаміки точки?

9.6. Як формулюється друга задача динаміки точки?

9.7. За яким правилом обчислюється робота сталої сили, прикладеної до точки, яка переміщується?

9.8. У яких випадках робота сили дорівнює нулю, більше нуля, менше нуля?

9.9. За яким правилом обчислюється робота сталого моменту сили (моменту пари), прикладеної до тіла, яке обертається?

10. Динаміка твердого тіла та системи тіл. Теорема про зміну кінетичної енергії системи.

10.1. За якою формулою обчислюється момент інерціїточки відносно осі ?

10.2. За якою формулою обчислюється момент інерціїтіла відносно осі (у загальному випадку)? Що характеризує осьовий момент інерції тіла?

10.3. За якою формулою обчислюється момент інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі?

10.4. За якою формулою обчислюється момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі?

10.5. За якою формулою обчислюється момент інерції тонкого кільця відносно центральної осі?

10.6. Який вигляд має рівняння динаміки обертального руху тіла навколо осі ?Як при цьому визначаєтьсякутове прискорення тіла?

10.7. За якою формулою обчислюється кінетична енергія точки?

10.8. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в поступальному русі?

10.9. За якою формулою обчислюється кінетична енергія тіла в обертальному русі?

10.10. Як формулюється теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними в’язями? Який математичний вираз ілюструє цю теорему?

2. Приклади РОЗВ’ЯЗАННЯ тестових завдань

2.1. Статика. Рівновага тіла під дією плоскої
довільної системи сил

Приклад 1 (рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Рис. 1	Рис. 2

Якщо схема навантаження конструкції відповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума проекцій усіх сил на вісь дорівнює нулю – має вигляд:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

Розв’язання. У цьому прикладі з трьох наведених відповідей треба вибрати правильну відповідь (вказати правильне рівняння рівноваги).

Примітка. Слід зауважити, що в даному випадку конструкція закріплена в точці за допомогою жорсткого защемлення; тому на конструкцію крім активного навантаження − сил , пари сил з моментом − діє ще реакція жорсткого защемлення, яка складається з трьох елементів − двох сил та пари сил з моментом .

Пригадаємо спочатку правило визначення проекції вектора сили на координатну вісь (рис. 3). Проекція сили на вісь - це скалярна величина, яка характеризується числом і знаком. Величину проекції рекомендується обчислювати як добуток модуля сили на косинус гострого кута між силою і віссю, а знак проекції визначати за додатковим правилом.

За додаткове можна прийняти таке правило: якщо вектор сили утворює гострий кут і з додатним напрямком осі, то знак беруть плюс («+»), якщо ж із від’ємним – то мінус («−»).

В окремих випадках (рис. 4) проекція сили на вісь визначається таким чином: якщо сила спрямована паралельно до осі, то вона проектується на вісь у натуральну величину з відповідним знаком; якщо ж сила спрямована перпендикулярно до осі, то вона проектується на вісь у точку, тобто проекція дорівнює нулю.

Розглянемо детально, як записати проекції сил, зображених на рис. 2, на вісь .

Сила спрямована перпендикулярно до осі , тому проектується на цю вісь у точку, тобто проекція сили на вісь дорівнює нулю.

Сила спрямованапаралельно осі і проектується на вісь у натуральну величину зі знаком плюс, оскільки спрямована в додатному напрямку осі.

Сила теж спрямована паралельно до осі , алепроектується на вісь
у натуральну величину зі знаком мінус,оскільки спрямована у від’ємному напрямку осі.

Сила створює з напрямком осі гострий кут 40º. Тому величина її проекції на вісь може бути записана як добуток модуля сили на косинус цього кута (). Оскільки гострий кут 40º сила утворює з додатним напрямком осі , то знаком проекції буде плюс. Це підтверджує також складова сила _у (рис. 7), яка спрямована в додатному напрямку осі .

Примітка. Слід підкреслити, що на конструкцію, окрім зосереджених сил, діють ще пари сил з моментами і _защ. Пара сил − це система двох сил, рівних за величиною, протилежних за напрямком і не розташованих на одній прямій (рис. 5 а). Основною характеристикою дії пари на абсолютно тверде тіло є її момент, який дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на плече пари (рис. 5 б). Оскільки сума проекцій сил, що утворюють пару, на будь-яку вісь дорівнює нулю (рис. 5 а), то проекції цих сил у рівняннях проекцій не фігурують. Наявність позначень і _защ у рівняннях проекцій вказує на помилку.

Отже, із наведених у відповідях прикладу рівнянь проекцій правильним буде рівняння 2).

Приклад 2 (рис. 1, 2). Вказати правильне рівняння рівноваги ().

Якщо схема навантаження конструкції ABCD відповідає рис. 1, а схема діючих сил (активних і реакцій опор) – рис. 2, то рівняння рівноваги цієї конструкції – сума моментів усіх сил відносно центра дорівнює нулю – має вигляд:

1) ; ;

2) ; ;

3) ; .

Розв’язання. Щоб розібратися, яке з трьох наведених рівнянь правильне, треба пригадати (рис. 6) правило визначення величини і знака моменту сили відносно центра (точки).

Величина моменту визначається як добуток модуля сили на плече сили h (див. рис. 6 а), де плече – це найкоротша відстань від центра до лінії дії сили. Будується плече як перпендикуляр, що опускають із центра на лінію дії сили. Знак моменту в тестових завданнях треба брати за традиційним правилом знаків: якщо сила намагається повернути тіло навколо центра проти годинникової стрілки, то беруть знак плюс («+»), якщо за годинниковою стрілкою – мінус («−»).

Примітка. Треба зауважити, що існує окремий випадок, коли сила не створює момент відносно центра. Це спостерігається тоді, коли центр розташований на лінії дії сили (лінія дії сили проходить через центр). У такому випадку відстань від центра до лінії дії сили дорівнює нулю, тобто плече сили дорівнює нулю, а значить, і момент сили відносно центра дорівнює нулю. Такий випадок наведено на рис. 6 б. Тут лінія дії сили проходить через точку О і момент цієї сили відносно точки О дорівнює нулю.

Отже, розглянемо детально, які моменти створюють сили, що зображені на рис. 2, відносно центра (точки ).

Сили і проходять через точку і моментів відносно точки не створюють.

Сила створює момент відносно центра з плечем і знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою ().

Плече сили відносно центра визначати незручно; краще цю силу розкласти на складові вектори і (рис. 7) і для визначення її моменту відносно центра А скористатисятеоремою Варіньона: момент рівнодіючої плоскої збіжної системи сил відносно центра дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно того ж центра.

Тоді ,

де , а .

Складова сила створює момент відносно центра з плечем і знаком мінус, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки за годинниковою стрілкою (). Плече в рівнянні можна замінити на рівний йому відрізок , який єодним із розмірів конструкції (). Складова сила створює момент відносно центра з плечем і знаком плюс, оскільки намагається повернути конструкцію навколо точки проти годинникової стрілки ().

Моменти двох пар, що діють на конструкцію, записуються в рівняння моментів зі своїми знаками: ; .

Отже, із наведених у відповідях прикладу рівнянь моментів правильним буде рівняння 3).

2.2. Кінематика

2.2.1. Кінематика точки. Координатний та природний спосіб задання

руху точки

Приклад 1. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо точка А (рис. 8) рухається у площині відповідно до рівнянь

x_A = - 0,4 t² + 0,1 t (м),

то її швидкість V _A в момент часу t₁ = 1 смає значення:

1) V_A = 0,56 м/с;

2) V_A = 0,47 м/с;

3) V_A = 0,86 м/с;

4) V_A = 0,73 м/с.

Розв’язання. У даному прикладі за заданим законом руху точки А треба визначити величину її швидкості V _A (відносно тіла відліку - Землі) в момент часу с.

Тут рух точки А відносно тіла відліку описується координатним способом. Рух відбувається у площині (рис. 8), тому закон руху точки представлений як закон зміни за часом її координат , у системі координат x О y, яка неодмінно зв’язана з тілом відліку і нерухома відносно нього.

Примітка. Треба зауважити, що координати точки - це параметри, які визначають положення точки в обраній системі координат, а значить і положення точки відносно тіла відліку.

Щоб відповісти на поставлене питання, треба скористатися формулою

,

де - модуль (величина) вектора швидкості, а і - його проекції на координатні осі.

Проекція вектора швидкості на вісь x визначається як похідна за часом від закону зміни координати , апроекціяна вісь y відповідно - як похідна за часом від закону зміни координати :

(м/с);

(м/с).

Із виразів видно, що V_Ау не залежить від часу (стала величина не змінюється за часом), а V_Ах залежить від часу (змінюється за часом), тому далі треба знайти значення в заданий момент часу с і підрахувати величину повної швидкості в заданий момент часу:

м/с;

м/с.

Таким чином, із наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо точка (рис. 9) рухається у площині відповідно рівнянням

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: