Математическая модель роста.

Построим математическую модель роста палочковидных бакте­рий, у которых скорость роста пропорциональна длине клетки в каждый момент времени роста. На основании условия задачи можно записать:

, (11)

где и - постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада клеток. Выражение (4) представляет собой дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющими переменными и постоянными коэффициентами . Решаем его:

,

, (12)

ln ,

.

Потенцируем полученное выражение (12),и определяем произвольную постоянную C:

, (13)

при начальных условиях тогда (14)

С учетом (14) формула (13) принимает окончательный вид:

. (15)

Формула (15) представляет собой математическую модель роста палочковидных бактерий, согласно которой, рост их происходит по экспоненциальному закону. Эта модель представляет интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения. При благоприятных условиях по аналогичному закону размножаются многие бактерии и грибы; ему подчиняется рост популяций животных, например, «экологический взрыв», когда тот или иной биологический вид за корот­кий срок достигает гигантской численности (губительные нашествия полчищ насекомых, неожиданные последствия акклиматизации кроли­ков в Австралии и т.д.).

2.2.2. Математическая модель "хищник-жертва"

Биологические сообщества состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Они или оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, питаясь ими. Количественно характер борьбы за существование проявляется в изменении численности популяций. При одних условиях эти измене­ния выглядят как флуктуации около средних значений, а при других условиях сводятся к исчезновению или прогрессирующему увеличению видов. При некоторых допущениях для короткого интервала времени и достаточно большой популяции прирост числа особей одного вида будет пропорционален их общей численности и интер­валу времени , т.е.

, (16)

где - постоянный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом прироста. С точки зрения математики это выражение представляет собой дифференциальное уравнение 1 порядка с разде­ляющимися переменными которое решаем интегрированием:

=

Потенцируя последнее выражение, получаем:

, (17)

Это хорошо известный экспоненциальный закон развития видов: если время увеличивается в арифметической прогрес­сии, то численность вида возрастает в геометрической прогрессии. Если > 0, то численность вида растет, если < 0 - умень­шается, а при = 0 рождаемость компенсирует смертность.

Коэффициент роста , определяющий развитие вида, мож­но найти количественно следующим образом. Если за время t число особей данного вида увеличилось в 2 раза () то из экспоненциального закона развития (17) следует:

. (18)

Потенцируем (18):

.

Если численность вида уменьшилась вдвое, то

.

Если же численность вида остается постоянной, то .

Как видно из полученных формул, расчет довольно прост, т.к. отрезок времени t легко измерить.

Составим математическую модель "хищник-жертва" для двух ви­дов, один из которых пожирает другой. Если бы в среде, где оби­тают эти виды, находился только один из них, то каждый бы имел не­который постоянный коэффициент прироста: жертва - , хищник – . Знак " — " у обусловлен тем, что хищник питается только (или в основном) жертвой, которой в среде обитания нет. Если виды сосуществуют в ограниченной среде, то первый из них будет раз­виваться тем медленнее, чем больше имеется особей второго рода, а второй - тем быстрее, чем многочисленнее первый вид.

В этом случае коэффициенты прироста запишутся в следующем виде:

и ,

где - постоянные, характеризующие потребности каждого вида в пище а называемые коэффициент прожорливости. Используя закон развития видов (16), для каждого из рассматриваемых видов можно записать:

,

. (19)

,

Система дифференциальных уравнений (19) описывает зависимость численности видов от времени. Более тонкое исследование поставленной задачи показывает, что численность видов и под­вержена флуктуациям, имеющим периодический характер. Важное следствие периодичности и может быть получено из решения сис­темы уравнений (19), которое перепишем в виде:

(20)

Проинтегрируем систему уравнений (20) по времени (начальный момент времени , а T период флуктуации):

или

(21)

Обозначим и , тогда:

(22)

Согласно определению среднего значения переменной величины, являются средними значениями численности первого и второго видов в течение периода флуктуации Т. Из (22) следует закон сохранения средних - средние значения за период численности особей двух видов не зависят от начальных условий и оп­ределяются значениями коэффициентов прироста и коэф­фициентов прожорливости соответствующими рассмат­риваемому состоянию.

Анализ полученных уравнений при малых флуктуациях показы­вает, что период флуктуации T зависит только от коэффициен­тов прироста и не зависит от коэффициентов прожор­ливости:

.

Отношение же амплитуд флуктуации зависит от всех четырех коэффициентов:

Регулировать численность видов можно истреблением их особей. Анализ уравнений (19-23) для случая, когда проводится равномерное по времени и пропорциональное численности особей истребление, дает следующие средние значения для за период флуктуаций:

и , (23)

где коэффициенты характеризуют способы истребления, а - интенсивность истребления. Если, например, речь идет о рыбах, то значения и будут зависеть от процесса ловли, а значения - от его интенсивности. Из (23) получаем закон изменения средних: если два вида истребляются равномерно и про­порционально числу их особей, то среднее число жертв возрастает, а хищников - убывает.

Если истребляются только хищники (), то их среднее число не изменяется, а у жертв оно увеличивается. Если истребляются только жертвы (), то их среднее число не изменяется, а у хищников оно убивает. Анализ показывает, что когда истребляются хищники - период увеличивается. В обоих слу­чаях отношение амплитуд флуктуаций возрастает.

Рассмотренная математическая модель "хищник-жертва", пред­ставлявшая собой систему дифференциальных уравнений (19), являет­ся одной из первых для биологического сообщества видов.

2.2.3. Математические модели системы кровообращения.