Математическая модель эластичного резервуара

Можно считать, что основным элементом кровеносной системы является резервуар с эластичными стенками, заполненный жидкостью. Из него происходит постепенное вытекание жидкости; резервуар пе­риодически пополняется жидкостью под давлением Р. Ма­тематическая модель резервуара - это уравнения, описывающие про­цессы, происходящие в нем. В1899 г. Франком была предложена математическая модель резервуара для описания процессов в артериаль­ной части большого круга кровообращения. В этой модели аорта и крупные сосуды моделируются одним эластичным резервуаром, а система мелких сосудов с гидравлическим сопротивлением X - жест­кой трубкой. Давление Р, создаваемое сердцем при сокращении, передается крови сразу во всех крупных артериях. Рас­считаем с помощью данной модели давление в аорте в течение диас­толы.

Кровь находится в эластичном резервуаре, поэтому ее объем V(t) в любой момент времени зависит от давления P следующим образом:

, (25)

где - объем резервуара при отсутствии давления (Р = 0); c - коэффициент упругости (эластичности) стенок резервуара.

Объемная скорость оттока крови из резервуара математически записывается в виде:

, (26)

Подставим в (26) формулу (25):

, (27)

Отток крови происходит через периферические сосуды с гидравличес­ким сопротивлением Х (жесткую трубку). Согласно формуле Пуазейля (24), объемная скорость кровотока через периферические сосуды равна:

,

где P – давление в крупных сосудах (резервуаре); - венозное давление.

При последнюю формулу можно записать в виде:

, (28)

Из выражений (27) и (28) имеем:

. (29)

Уравнение (29) является дифференциальным уравнением 1 порядка с разделяющимися переменными P и t, которое решаем интегрированием:

(30)

Потенцируем полученное выражение (30):

, (31)

где Pо - начальное давление крови в резервуаре.

Из (28) и (31) находим зависимость объемной скорости оттока крови из резервуара от времени:

, (32)

Графически зависимости (31) и (32) имеют экспоненциальный харак­тер.

Уравнения (31) и (32) являются математической моделью элас­тичного резервуара для артериальной части системы кровообращения. Данная модель весьма грубо описывает реальные явления, но очень проста и верно отображает процесс к концу диастолы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с помощью этой модели не описываются.

В более точной модели сосудистого русла используют большое число эластичных резервуаров, т.к. сосудистое русло является сис­темой сосудов. Для учета инерционных свойств крови при построении модели предполагается, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, имеют разную упругость.

Математическая модель сердечнососудистой системы /ССС/ В.А. Лищука.

Создать модель ССС, воспроизводящую все ее нормальные и па­тологические процессы, невозможно из-за ограниченности методов и средств исследования. Поэтому при моделировании в первую очередь вводятся ограничения в виде упрощений. Оптимальная степень упрощения выбирается, исходя из целей и возможностей средств исследо­вания. Ограничим нашу задачу, построением математической недели ССС, на основе которой можно исследовать связь между наиболее существенными величинами гемодинамики и интерпретировать факты и наблюдения, полученные в клинике.

Основными физическими величинами гемодинамики являются: давление крови P, объем крови V и кровоток Q. Они харак­теризует функциональное состояние ССС и поэтому называются функциональными показателями CСC. Клинические методы исследования в настоящее время позволяют измерить их в артериальной и венозной системах организма.

Представим упрощенно структуру ССС, функционирование которой можно охарактеризовать на основе измеренных в клинике величин . Модель ССС В.А. Лищука включает артериальный A и венозный В резервуары, которые соединены с одной стороны через сердце С и с другой стороны через капиллярное ложе К. Таким образом, мы выделили элементы связи в модели замкнутой ССС.

Согласно модели (и по аналогии с ССС организма), кровь циркулирует по замкнутому кругу из сердца в артериальный резервуар, через капиллярное ложе в венозный резервуар, из него поступает в сердце, и далее цикл повторяется. Артериальный и венозный резер­вуары в модели представлены в виде сообщенных сосудистых участков, где сосредоточен весь объем циркулирующей крови, значение которо­го определяется уравнением баланса:

(33)

Согласно закону Франка, давление крови в резервуаре зависит от его объема и эластичности стенок:

(34)

где - эластичности, соответственно, артериального и ве­нозного резервуаров; - ненапряженные объемы артериаль­ного и венозного резервуаров, определяемые сечением гладких мышц сосудистого участка в ненапряженном состоянии.

Рис.10.

Закон Франка можно представить графически (рис.10), где изображена зависимость:

Сердце обеспечивает движение крови со средней объемной ско­ростью при этом, согласно закону Франка-Старлинга, кровоток тем больше, чем больше :

, (35)

где - коэффициент пропорциональности, характеризующий функциональное состояние сердца (насосный коэффициент сердца).

С другой стороны, согласно закону Пуазейля (24)

, (36)

где X - гидравлическое сопротивление капиллярного ложа. При установившемся процессе

Запишем уравнения (33-36) в виде системы:

(37)

Система уравнений (37) представляет собой математическую модель замкнутой ССС. В литературе она известна как модель ССС В.А. Лищука. Модель характеризуется уравнениями взаимосвязи основных функциональных величин гемодинамики (). Коэффициенты, входящие в уравнения () принято называть параметрами модели. Они характеризуют внутренние свойства ССС. Математическая модель хорошо исследуется с помощью ЭВМ. Для этого составляется соответствующая программа решения алгебраических уравнений, и модель программно реализуется на ЭВМ. Данную модель можно использовать как для теоретических исследований при изучении взаимосвязанных механизмов гемодинамики, так и в клинике для оперативной оценки и анализа состояния боль­ных с расстройствами ССС.

В процессе лечения больных измеренные значения с помощью датчиков по каналам связи поступают в ЭВМ, в памяти которой хранится программно реализованная модель ССС. Согласно программе ЭВМ решает уравнения модели на основе численных значений измеренных величин и определяет комплекс параметров (), характеризующих внутренние свойства ССС данного организма. Врач на основе полученных данных может количественно оценить состояние больного. Более того, на основе модельных исследований он может проигрывать различные интересующие ситуации, тем самым уточняя и проверяя выбранное лечение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: