Метод Зейделя для решения СЛАУ

Рекуррентное соотношение Якоби (2.2) можно несколько улучшить, если найденные при выполнении текущей итерации значения неизвестных сразу подставлять в правую часть выражения:

(2.11)

Такой процесс называется методом Зейделя или методом последовательных смещений. Векторы и в преобразовании (2.5) теперь будут иметь вид ; .

В случае преобладания диагональных элементов, согласно условия (2.7) метод Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби.

Метод Зейделя можно рассматривать как частный случай метода релаксации, в котором для улучшения сходимости вводится параметр :

(2.12)

при это нижняя релаксация, а при - верхняя релаксация. Метод Зейделя соответствует случаю .

Реализуем метод Зейделя в Excel. Рассмотрим методику на примере системы .

В качестве начального значения взято . Заданная точность =0,00001. Дальнейшее вычисление приведем в виде таблицы.

Таблица 2.1. Вспомогательная таблица для вычисления корней системы методом Зейделя

Оценим число арифметических операций, выполняемых в итерационном процессе. Запишем фрагмент процедуры на языке Паскаль:

Kmax:=100; key:=false;

repeat

inc (k);

for i:=1 to n do

begin s:=b[i];

for j:=1 to n do s:=s - a[i,j]*x[j];

s:=s*tau/a[i,i]; x[i]:=x[i]+s;

end;

if abs (S)>eps

then key:=true;

until (not key) or (k=kmax);

где k- число итераций, n-размер матрицы . Видно, что для достижения заданной точности необходимо порядка операций.

Число итераций, необходимых для получения заданной точности , можно вычислить из так называемой априорной оценки погрешности (a priori- до опыта):

(2.13)

Действительно , откуда

(2.14)

Можно получить апостериорную (a posteriori – из опыта) оценку погрешности:

(2.15)

Апостериорная погрешность точнее априорной и ее можно использовать как еще один критерий завершения процесса итерации:

(2.16)

В заключение сделаем важное для приложений замечание. Метод Зейделя сходится для нормальных систем, т.е. систем, для которых матрица - симметричная и положительно определенная. Получить такую систему можно, умножив систему (1.1) на транспонированную матрицу , тогда

(2.17)

является нормальной системой.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: