Аппроксимация полиномом

Пусть данные аппроксимируются полиномом (5.2) степени m. Нахождение коэффициентов степенного полинома методом наименьших квадратов позволяет записать систему алгебраических уравнений в следующем виде:

(5.26)

где - неизвестные коэффициенты полинома . Матрица коэффициентов называется матрицей Грама. Она состоит из сумм и является симметричной. Для ее вычисления нужно построить алгоритм, который вычисляет первую строку и последний столбец, а затем эти данные расположить симметрично. Вычисление степенных зависимостей можно оформить в виде рекурсивной функции. Независимо необходимо также вычислить столбец коэффициентов, расположенных справа. В результате можно записать следующую процедуру:

procedure Data (var a:dim2; var n:integer);

const n=10;

type vec=array[0..n] of real;

procedure Tab (var x, y:vec);

{см. предыдущую процедуру Data}

function St (v:real; k:integer):real;

begin

if k=0

then St:=1.0

else St:=v*St(v, k-1);

end;

var i, j, k:integer; x, y:vec;

begin m=3; Tab(x, y);

for i:=1 to m do

for j:=1 to m+1 do a[i,j]:=0.0;

for i:=1 to m do

for j:=1 to m+1 do

for k:=0 to n do

if j = m+1

then a[i, j]:=a[i, j]+y[k]*St(x[k], i-1)

else begin a[i, j]:=a[i, j]+St(x[k], i+j-2);

if i<>j then a[j, i]:=a[i, j];

end;

end;

Провести отладку процедур для формирования и решения системы уравнений (5.20).

Изучить поведение плохо обусловленных матриц на примере матрицы Грама.

Представим в пакете Excel аппроксимацию функции методом наименьших квадратов.

Используя метод наименьших квадратов, выведем эмпирическую формулу для функции , заданной в табличном виде:

Если изобразить данные табличные значения на графике (рис.5.1), то легко убедится, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции можно принять квадратный трехчлен, графиком которого является парабола:

Рис.5.1. График значений сеточной функции

В данном случае имеем , тогда решение ищется в виде

Составим систему:

Расчеты коэффициентов системы приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Расчеты коэффициентов системы.

В результате получаем систему:

Решая полученную систему методом Гаусса, получим

a₀=1,234; a₁= 0, 98; a ₂= -0,279.

Искомая сглаживающая функция

Представим в пакете MathCAD аппроксимацию функции методом наименьших квадратов.

Используя метод наименьших квадратов, выведем эмпирическую формулу для функции , заданной в табличном виде:

Ниже приведена функция для вычисления коэффициентов многочлена в данном пакете.

Таким образом:

a₀=1,234; a₁= 0, 98; a ₂= -0,279.

Искомая сглаживающая функция

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: