Лабораторно-практическая работа 5

Метод наименьших квадратов

Введение

Пусть известна совокупность данных , полученных из результатов каких-либо наблюдений. Из-за ошибок измерений проводить интерполяцию методами, описанными в предыдущих работах, нецелесообразно. В таких случаях проводят аппроксимацию данных функцией φ(х), которая не проходит точно через экспериментальные точки, а только в целом отражает исследуемую зависимость, сглаживая возможные выбросы за счет погрешностей. В качестве критерия близости аппроксимирующей функции φ (х) к исходным данным выбирается не условие Лагранжа, а малость отклонений в узлах . Чтобы избежать влияния разных знаков величин ε_к на их сумму, они возводятся в квадрат и задача сводится к поиску минимума суммы квадратов отклонений:

. (5.1)

Аппроксимирующая функция φ (х) зависит от некоторых параметров. Метод наименьших квадратов состоит в нахождении оптимальных значений этих параметров, обеспечивающих минимум функционала (5.1).

Выбор конкретной функции φ (х) зависит от свойств изучаемой зависимости , таких как периодичность, симметрия, логарифмический, полиномиальный или показательный характер поведения и др. В данной работе будем рассматривать аппроксимацию полиномом степени m:

(5.2)

Обычно выбирается невысокая степень полинома: линейная (m=1), параболическая (m=2) или кубическая (m=3) аппроксимация.

Метод наименьших квадратов допускает важные статистические интерпретации. Так, выбор подходящей аппроксимирующей функции основывается на соответствующих статистических критериях. Статистической обработке результатов наблюдений посвящены отдельные курсы, здесь же основное внимание будет уделяться вычислительным проблемам.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: