Загальні підходи до опису системи

Схемою назвемо сукупність елементів, що беруть участь у реалізації функції системи, а також структуру їхніх зв’язків.

Описуючи систему, найчастіше вдаються до двох способів: графічного (схеми, графи) та аналітичного (математичні вирази, системи рівнянь). Скажімо, схему можна розглядати як графічну модель системи. Від схемного опису можна перейти до аналітичного. При цьому передбачається, що кожний з елементів виконує перетворення, яке було притаманне йому, перш ніж його включили до системи.

Нехай елементи системи — лінійні перетворювачі; φ і f — перетворювачі, що реалізують відповідно функції φ і f; — суматори (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графічний опис системи

Звідси маємо:

Динамічний опис систем. Системи, в яких із часом відбуваються деякі зміни, називають динамічними. Стан системи в довільний момент часу можна описати за допомогою набору певних величин — параметрів, що характеризують виходи системи. Зміну станів системи з часом називають рухом системи.

Описуючи зміну станів та рух системи, застосовують такі способи:

· вербальний — послідовно перелічують та описують характеристики стану системи, дістаючи в результаті перше наближення динамічного опису;

· графічний — будують діаграми та графіки, що дають наочне уявлення про динаміку процесу в системі;

· табличний — подають кількісну оцінку стану системи в дискретні моменти часу;

· математичний — записують функціональну залежність стану системи від часу та значень входів системи.

З погляду математики будь-яка динамічна система описує рух точки у так званому фазовому просторі, або просторі станів. Найважливіша характеристика цього простору — його розмірність, тобто кількість величин, які необхідно задати для визначення стану системи. При цьому не так вже й істотно, що це за величини — вони можуть характеризувати кількість різних представників фауни на певній території, або являти собою змінні, що описують сонячну активність чи кардіограму, або подавати частку виборців, які підтримують президента, і т. ін.

Кожному стану системи відповідає певна точка фазового простору — зображувальна точка, а кожному процесу зміни стану (руху) системи відповідає певна траєкторія. Сім’ю цих траєкторій називають фазовим портретом системи. Здебіль­шого фазовий портрет являє собою сім’ю неперетинних кри-
вих (рис. 1.4).

Фазова траєкторія, характеризуючи переміщення зображуваль­ної точки, відбиває водночас поводження системи під впливом
деяких факторів. Отже, за допомогою фазової траєкторії можна графічно подавати поводження системи.

Рис. 1.4. Фазовий портрет системи
у двовимірному просторі

Нехай — функції відповідно входів, виходів та стану динамічної системи, тоді цю систему формально можна описати рівняннями спостереження та стану системи:

,

де f, g — деякі функції.

Розрізняють три характерних типи поводження, або три режими, в яких може перебувати динамічна система: рівноважний, періодичний, перехідний. Рівноважний режим функціонування, або рівновага системи — це здатність її зберігати свій стан як завгодно довго (як за відсутності, так і за наявності зовнішніх збурювальних впливів).

Одним із найбільш поширених є критерій стійкості за Ляпуновим. Стан системи z ₀ = z (t ₀) буде стійким за Ляпуновим для всіх , якщо для довільної заданої області допустимих відхилень цього стану (область e) існує така область d, що траєкторія довільного руху, яка почалась в області d, не вийде за межі області e, що формально можна записати так:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: