Етапи економіко-математичне моделювання 1 страница

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів:

· об’єкта дослідження;

· суб’єкта (дослідник);

· моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.

Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами,
а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо.

При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні спів-
відношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.

3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв’язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.

Проте моделі складних економічних об’єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв’язання.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскіль­ки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математич-
не моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютер­них програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об’єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослід­ження.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властиво-тями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач (аналіз економічних об’єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).

Верифікація моделі — перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі — перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім — до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі — до третього і т. д.

19. Статистичні моделі економічних систем. Виробничі функції

Поняття виробничої функції (ВФ) виникло з огляду на потребу відбити залежність між обсягом продукції, що виробляється, і ком­понентами витрат ресурсів (праці та капіталу). Американський еко­номіст П. Дуглас помітив, що співвідношення доходів від праці та капіталу в національному доході США майже не змінюється з часом. Цей висновок підтвердили подальші емпіричні дослідження для різних країн світу.

Описуючи виробничу підсистему економіки за допомогою ВФ, цю підсистему розглядають як «чорну скриньку», на вхід якої подаються ресурси X ₁, X ₂, …, X_n, а на виході отримуються річні обсяги різноманітної готової продукції Y ₁, Y ₂,..., Y_k. Як фактори виробництва на макрорівні здебільшого розглядають виробничі фонди K (капітал) та працю L, а як результати виробництва — валовий випуск продукції (ВВП або НД) Y (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Виробнича функція

Отже, економіку моделюють нелінійною ВФ

Y = F (K, L).

Розглянемо найпоширеніші класи ВФ, що застосовуються для моделювання економіки.

ВФ називається неокласичною, якщо вона є гладкою та задовольняє такі умови:

· F (0, L) = F (K, 0) = 0 — за відсутності одного з факторів виробництво неможливе;

· — зі зростанням витрат ресурсів виробництво зростає;

· — зі зростанням витрат ресурсів швидкість зростання виробництва спадає;

· за необмеженого зростання одного з факторів випуск продук­ції зростає також необмежено.

Мультиплікативна ВФ має такий вигляд (для двох факторів):

де a₁, a₂ — коефіцієнти еластичності.

Частинним випадком такої ВФ є функція Коба—Дугласа, для якої виконується умова a₁ + a₂ = 1. Беручи до уваги технологічний прогрес, до моделі часто включають множник exp(l t). Однією з переваг зазначеної моделі є те, що вона стає лінійною після
логарифмування:

,

де індекс t = 1, …, T показує момент часу (або номер спостереження) за факторами виробництва та випуском. Тоді невідомі параметри можна знайти методом найменших квадратів (МНК) за допомогою стандартних пакетів прикладних програм (наприклад, MS Excel, Eviews, SAS тощо).

Можна легко переконатись, що мультиплікативні ВФ задоволь­няють перші дві умови для неокласичних функцій. Справді,
знайдемо перші частинні похідні:

оскільки a₁ > 0, a₂ > 0.

Частинні похідні випуску за факторами — так звані граничні продукти, або граничні ефективності, факторів — відповідають приросту випуску на одиницю приросту фактора. Неважко переконатись, що мультиплікативна ВФ задовольняє також умови 3 і 4 для неокласичних ВФ.

Подамо економічну інтерпретацію параметрів a₁ > 0, a₂ > 0. Для цього введемо поняття еластичностей як логарифмічних похідних факторів за випуском:

.

Оскільки в розглядуваному випадку , то

.

Отже, коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків зросте випуск, якщо фактор зросте на 1 %. При a₁ > a₂ спостерігається інтенсивне зростання, у протилежному випадку — екстенсивне виробництво.

Ізоквантою називають геометричне місце точок на площині K, L, що відповідає одному й тому самому рівню випуску продукції, тобто F (K, L) = Y ₀ = const. Звідси випливає, що на
ізокванті

.

Граничною нормою заміни праці фондами та фондів працею називаються відповідно такі співвідношення:

, .

Для мультиплікативної ВФ норма заміни праці фондами прямо пропорційна до фондоозброєності:

Ізоклінами називають лінії найбільшого зростання ВФ. Ізокліни ортогональні до ліній нульового зростання — ізоквант. Оскільки напрям найбільшого зростання задається градієнтом , то рівняння ізоклінали подається у вигляді:

Схематичне зображення ізоквант та ізоклін наведено на
рис. 7.2.

Виробнича функція називається однорідною ступеня g, якщо
F (l K, l L) = l^g F (K, L). Отже, мультиплікативна ВФ буде однорідною ступеня a₁ + a₂.

Розглянемо ще один клас ВФ — зі сталою еластичністю заміни факторів (CES-функції). Для них виконується рівність .

Рис. 7.2. Ізокванти та ізокліни для ВФ

У загальному вигляді ВФ цього класу можна подати так:

,

де .

20 Статистичні моделі економічних систем. Балансові моделі

Описуючи економічну систему в цілому, під її балансовою моделлю розуміють систему рівнянь, кожне з яких виражає вимогу балансу між виробленою окремими економічними об’єктами кількістю продукції та сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об’єктів, кожний з яких випускає деякий продукт. Частину останнього споживають інші об’єкти системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцевий продукт.

Найважливіші види балансових моделей:

· часткові матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;

· міжгалузеві баланси;

· матричні баланси підприємств і фірм.

Балансовий метод є основним інструментом для аналізу пропорцій в економіці. Балансові моделі на базі звітних балансів характеризують сформовані пропорції, причому їхня ресурсна частина завжди дорівнює видатковій.

Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямками їх використання. Скажімо, у моделі міжгалузевого балансу зазначену роль відіграє так звана технологічна матриця — таблиця міжгалузевого балансу, складена з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції в натуральному виразі. З багатьох причин вихідні дані реальних господарських об’єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для введення в модель є доволі важливою проблемою.

Так, будуючи модель міжгалузевого балансу (МГБ), застосовують специфічне поняття чистої, або технологічної галузі, тобто умовної галузі, яка поєднує все виробництво відповідного продукту незалежно від відомчої (адміністративної) підпорядкованості та форм власності підприємств і фірм, що його виробляють.

У разі переходу від господарських галузей до чистих галузей потрібне спеціальне перетворення реальних даних господарських об’єктів, наприклад агрегування галузей, вилучення внутрішньогалузевого обігу і т. ін. Тоді поняття «міжпродуктовий баланс» і «міжгалузевий баланс» практично ідентичні, відмінність полягає лише в одиницях, якими вимірюють елементи балансу.

Балансові моделі належать до матричного типу економіко-мате­матичних моделей, оскільки вони будуються у вигляді матриць — прямокутних таблиць чисел. У матричних моделях балансовий метод набуває строгого математичного вираження. Отже, матрична структура притаманна міжгалузевому і міжрайонному балансу виробництва й розподілу продукції в народному господарстві, моделям розвитку галузей, міжгалузевим балансам виробництва й розподілу продукції окремих регіонів, моделям підприємств і фірм. Попри специфіку цих моделей їх поєднує не лише загальний формальний (матричний) принцип побудови та спільність системи розрахунків, а й аналогічність низки економічних характеристик.

Принципову схему міжгалузевого балансу виробництва й розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному виразі наведено в табл. 7.1. В основу цієї схеми покладено поділ сукупного продукту на дві частини — проміжний і кінцевий продукт. Усе народне господарство подається у вигляді сукупності n («чистих») галузей, при чому кожна з них фігурує в балансі як така, що виробляє і споживає.

Таблиця 7.1

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ)

Галузі, що виробляють продукцію	Галузі, що споживають продукцію	Кінцевий продукт	Валовий продукт
			…	n
	x 11	x 12	x 13	…	x 1 n	Y 1	X 1
	x 21	x 22	x 23	…	x 2 n	Y 2	X 2
	x 31	x 32	x 33	…	x 3 n	Y 3	X 3
.	.	.	.	I	.	. II .	.
.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.
n	xn 1	xn 2	xn 3	…	xnn	Yn	Xn
Амортизація	c 1	с 2	с 3	…	сn	IV
Оплата праці	v 1	v 2	v 3	III	vn
Чистий дохід	m 1	m 2	m 3	…	mn
Валовий продукт	X 1	X 2	X 3	…	Xn

Розглянемо чотири великі складові схеми МГБ, що мають різний економічний зміст — так звані квадранти балансу (на схемі їх позначено римськими цифрами І—ІV).

Квадрант І — це шахова таблиця міжгалузевих матеріальних зв’язків. Показники, розміщені на перетині її рядків і стовпців, являють собою значення міжгалузевих потоків продукції й у загальному вигляді позначаються x_ij, де i, j — номер галузі, що виробляє і, відповідно, споживає продукцію. Наприклад, коефіцієнт x ₃₂ характеризує вартість засобів виробництва, вироблених у галузі з номером 3 і спожитих як матеріальні витрати в галузі з номером 2. Отже, квадрант І за формою являє собою квадратну матрицю порядку n, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду відшкодування витрат засобів виробництва в матеріальній сфері.

У квадранті ІІ подано кінцевий продукт усіх галузей матері-
ального виробництва. Під кінцевою розуміють продукцію, що над­ходить зі сфери виробництва в галузь кінцевого використання (на споживання й нагромадження). У табл. 7.1 цей розділ подано у вигляді стовпця величин Y_i. У розгорнутій схемі балансу кінцевий продукт кожної галузі відбивають диференційовано, за напрямками використання: особисте споживання населення, суспільне спо­живання, нагромадження, відшкодування втрат, експорт тощо.

Отже, квадрант ІІ у згорнутому вигляді характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу, а в розгорнутому — також і поділ національного доходу на фонд нагромад­ження і фонд споживання, структуру споживання і нагромадження за галузями виробництва та споживачами.

Квадрант ІІІ також характеризує національний дохід, але з боку його вартісного складу як суми чистої продукції й амортизації. При цьому чисту продукцію розуміють як суму оплати праці та чистого доходу галузей. Суму амортизації c_j та чистої продукції v_j + m_j деякої j -ї галузі називатимемо умовно чистою продукцією цієї галузі й позначатимемо надалі Z_j.

Квадрант ІV розташований на перетині стовпців квадранта ІІ (кінцевий продукт) і рядків квадранта ІІІ (умовно чиста продукція). Цим визначається його зміст: він відбиває кінцевий розподіл і використання національного доходу. У результаті перерозподілу створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані квадранта ІV важливі, коли йдеться про відображення в моделі МГБ доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери чи про аналіз загальної структури кінцевих доходів за групами споживачів. Вельми важливим є й те, що загальний підсумок квадранта ІV, так само як ІІ і ІІІ, має дорівнювати створеному за рік національному доходу.

Отже, міжгалузевий баланс поєднує в єдиній моделі баланси галузей матеріального виробництва, баланс сукупного суспільного продукту, баланси національного доходу, фінансовий баланс, а також баланс доходів і витрат населення. Варто наголосити, що хоча валова продукція галузей не входить до розглянутих щойно чотирьох квадрантів, вона присутня на принциповій схемі МГБ у двох місцях — як стовпець, розміщений праворуч від квадранта ІІ, і як рядок нижче від квадранта ІІІ. Зазначені стовпець і рядок валового продукту закінчують схему МГБ і відіграють важливу роль як для перевірки правильності заповнення квадрантів (тобто перевірки самого балансу), так і для розробки економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Позначаючи згідно зі схемою МГБ валовий продукт деякої галузі буквою X з нижнім індексом, що дорівнює номеру даної галузі, запишемо два найважливіші співвідношення, що відбивають сутність МГБ і є основою його економіко-математичної моделі.

По-перше, розглядаючи схему балансу за стовпцями, доходимо такого висновку: підсумок матеріальних витрат будь-якої галузі, що споживає, та її умовно-чистої продукції дорівнює валовій продукції цієї галузі. Цей висновок можна подати у вигляді співвідношення:

. (7.1)

Нагадаємо, що вартість умовно-чистої продукції Z_j дорівнює сумі амортизації, оплати праці та чистого доходу j -ї галузі. Співвідношення (7.1) охоплює систему з n рівнянь, що відбивають вартісний склад продукції всіх галузей матеріальної сфери.

По-друге, розглядаючи схему МГБ за рядками для кожної галузі, що виробляє продукцію, можна побачити, що валова продукція такої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, та її власної кінцевої продукції:

. (7.2)

Формула (7.2) описує систему з n рівнянь, які називають рівняннями розподілу продукції галузей матеріального виробництва за напрямками використання.

Підсумувавши за всіма галузями, дістанемо:

.

Аналогічно підсумовуємо рівняння (7.2):

.

Ліві частини обох рівностей однакові, оскільки подають весь валовий суспільний продукт. Перші доданки правих частин цих рівностей також однакові й становлять підсумок квадранта І. Отже, має виконуватись співвідношення:

. (7.3)

Ліва частина рівняння (7.3) — підсумок квадранта ІІІ, а права частина — підсумок квадранта ІІ. Загалом це рівняння показує, що в міжгалузевому балансі дотримано найважливішого принципу єдності матеріального й вартісного складу національного доходу.

21. Статистичні моделі економічних систем. Економіко-математична модель міжгалузевого балансу

Як уже зазначалося, основу інформаційного забезпечення моделі МГБ становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є також основою економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Припустимо, що для виробництва одиниці продукції в j -й галузі потрібно витратити певний обсяг a_ij проміжної продукції i -ї
галузі. При цьому значення a_ij не залежить від обсягу вироб­ництва в цій галузі і є досить стабільним у часі. Величини a_ij називаються коефіцієнтами прямих матеріальних витрат і обчислюються так:

(7.4)

Означення. Коефіцієнтом прямих матеріальних витрат називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i- ї галузі необхідно (якщо враховувати тільки прямі витрати) для виробниц­тва одиниці продукції j- ї галузі.

Узявши до уваги (7.4), систему рівнянь балансу (7.2) можна переписати у вигляді:

. (7.5)

Нехай А = (a_ij) — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, X — вектор-стовпець валової продукції і Y — вектор-стовпець кінцевої продукції. Тоді система рівнянь (7.5) у матричній формі набирає вигляду:

. (7.6)

Система рівнянь (7.5), або, у матричній формі, (7.6), називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьева, моделлю «витрати— випуск»). За допомогою цієї моделі, позначивши, як завжди, символом Е одиничну матрицю, виконувати три варіанти розрахунків:

· задавши в моделі обсяги Х_i валової продукції кожної галузі, визначають обсяги Y_j кінцевої її продукції: Y = (Е – А) Х;

· задавши обсяги Y_i кінцевої продукції всіх галузей, знаходять обсяг X_i обсягу валової продукції кожної галузі: Х = (Е – А)^–1 Y;

· задавши обсяги валової продукції для низки галузей, а для решти галузей — обсяги кінцевої продукції, відшукують обсяги кінцевої продукції перших галузей і обсяги валової продукції других (у цьому варіанті зручніше користатися не матричною формою моделі (7.6), а системою лінійних рівнянь (7.5)).

У наведених співвідношеннях (Е – А)^–1 — матриця, обернена до матриці (Е – А). Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулю, тобто ця матриця невироджена, то обернена до неї матриця існує. Позначивши цю обернену матрицю через Y = (Е – А)^–1, можна систему рівнянь у матричній формі (7.6) подати у вигляді Х = ВY.

Нехай b_ij — елементи матриці В. Тоді з матричного рівняння для будь-якої i -ї галузі можна дістати таке співвідношення:

. (7.7)

Із (7.7) випливає, що обсяг валової продукції виступає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, причому вагами є коефіцієнти b_ij, що показують, скільки всього потрібно виготовити продукції i -ї галузі, щоб у сферу кінцевого використання надійшла одиниця продукції j- ї галузі. На відміну від коефіцієнтів a_ij прямих витрат коефіцієнти b_ij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат і охоплюють як прямі, так і непрямі витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо під час виготовлення певного продукту, то непрямі стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукту опосередковано через інші (проміжні) засоби виробництва.

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат b_ij називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i -ї галузі потрібно виробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих її
витрат одержати одиницю кінцевої продукції j -ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат застосовують, щоб з’ясувати, як позначиться на валовому випуску деякої галузі передбачувана зміна обсягів кінцевої продукції всіх галузей:

,

де Δ X_i, Δ Y_j — зміна (приріст) обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.

Переходячи до аналізу моделі МГБ, розглянемо передусім основні властивості матриці А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Коефіцієнти прямих витрат за означенням є невід’ємними. Окрім цього, оскільки відтворення було б неможливим, коли б для власного відтворення в галузі витрачалося більше продукту, ніж створювалося, то діагональні елементи матриці А, очевидно, мен­ші за одиницю: a_ij < 1.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відбиває реальні економічні процеси, в яких сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків. Отже, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів, тобто є невід’ємним: X ≥ 0.

Постає запитання: за яких умов економічна система здатна забезпечити додатний кінцевий випуск за всіма галузями? Відповідь на це запитання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: