Етапи економіко-математичне моделювання 2 страница

Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує невід’ємний вектор X ≥ 0, такий що

(7.8)

Умова (7.8) означає, очевидно, існування додатного вектора кінцевої продукції Y для моделі МГБ (7.6).

Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:

1) існує невід’ємна матриця (Е – А)^–1 ≥ 0;

2) матричний ряд

збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)^–1;

3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто роз­в’язок характеристичного рівняння | А – λ Е | = 0, строго менше
від одиниці;

4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат с_ij називається сума прямих і непрямих витрат продукції i -ї галузі для виробництва одиниці продукції j -ї галузі з урахуванням усіх проміжних продуктів на всіх попередніх стадіях виробництва.

Нехай — коефіцієнт непрямих матеріальних витрат k -го порядку. Тоді виконується формула

,

або, у матричному вигляді:

.

Згідно зі змістом коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат запишемо матричні співвідношення:

,

скориставшись якими матричну формулу можна подати у вигляді

.

Якщо матриця А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат є продуктивною, то з умови 2 продуктивності випливає існування матриці В = (Е – А)^–1, що є сумою збіжного матричного ряду:

.

Порівнюючи два останні співвідношення, встановлюємо такий зв’язок між двома матрицями коефіцієнтів повних матеріальних витрат: B = Е + C, або, у поелементному запису:

Цей зв’язок визначає економічний зміст розбіжності між коефіцієнтами матриць B і С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують тільки витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В крім витрат містять також саму одиницю кінцевої продукції, що виходить за сферу виробництва.

22. Загальна модель макроекономічної динаміки

На відміну від статичних динамічні моделі описують не стан, а процес розвитку економіки, установлюючи безпосередній взаємо­зв’язок між попередніми та наступними його етапами і тим самим наближаючи аналітичні висновки на основі економіко-матема­тичної моделі до реальних умов розвитку економічної системи.

Макроекономічна динаміка — це складний процес розвитку економіки в цілому, що розглядається як єдина система, що утворюється в результаті взаємодії виробників і споживачів, кредиторів і боржників на основних ринках — товарному, грошовому та ринку ресурсів.

Аналізуючи макроекономічну систему, виокремлюють два блоки: статичний, який формує параметри системи, та динамічний, що описує траєкторію її розвитку. Динаміка описується кількома рівняннями зі змінними, на значення яких впливають параметри управління та наявна структура системи. Отже, траєкторія розвитку системи формується під впливом параметрів, що їх задає статичний блок, а він, у свою чергу, складається з рівнянь, які описують стан рівноваги на основних макроекономічних ринках.

Розглянемо модель Сарджента—Тарновського, доволі ком­пактну й порівняно нескладну, що дає змогу скласти цілісне уявлення про поводження макроекономіки. Ця модель складається з рівнянь, що описують:

· ринок товарів і послуг;

· грошовий ринок;

· функції агрегованого попиту та пропозиції;

· фіскальну та монетарну політику;

· динаміку очікувань;

· нагромадження приватного капіталу.

Ринок товарів і послуг у цій моделі задається рівнянням збалансованості доходів та агрегованих витрат Y, приватних і державних. Сукупний попит складається з приватних D (×) та очікуваних державних витрат G, які в точці рівноваги дорівнюють виробленому продукту:

. (8.1)

Характер реакції макроекономіки (приватного попиту) на зміни доходу, реальної процентної ставки та приватного багатства задають знаками перших похідних функції приватного попиту D (×) за відповідними аргументами D_і, і = 1, 2, 3 (наприклад, ). При цьому беруть 0 < D ₁ < 1, D ₂ < 0, D ₃ > 0.

Скажімо, підвищення доходу на одиницю тягне за собою зростання агрегованого приватного попиту менш як на одиницю, передбачаючи в загальному випадку збереження частки доходу. Із підвищенням реальної процентної ставки дорожчає кредит і скорочується приватний попит — звідси знак «мінус» похідної D ₂.

Дохід — це сума виробленого доходу Y, податків T, доходів від приватного багатства rb та інфляційного податку p A:

. (8.2)

У моделі вважають, що приватний сектор, оцінюючи розмір свого доходу, реагує на очікувану, а не на фактичну інфляцію. Приватне багатство А в реальному вимірі подається портфелем, що складається з двох активів: вартості грошей m = M / P, та державних облігацій b = B / P, дефльованих за індексом цін P. Отже, маємо:

A = m + b. (8.3)

Рівновага на фінансовому ринку подається співвідношенням між попитом на гроші в реальному виразі L (Y, r, A) та їх пропозицією m = M / P:

m = L (Y, r, A), L ₁ > 0, L ₂ < 0, L ₃ > 0. (8.4)

Згідно зі стандартною моделлю грошового ринку пропозиція грошей в реальному вимірі є параметром управління, хоча її можна розглядати як деяку функцію від процентної ставки, або валютного курсу.

Функцію агрегованої пропозиції часто замінюють кривою Філіпса:

(8.5)

де p — фактична інфляція; p — інфляційні очікування; — рівень виробництва відповідно фактичний та потенційний; a — стала, що характеризує чутливість інфляції до змін обсягів виробництва. Отже, крива Філіпса визначає агреговану пропозицію.

У цій моделі вважається, що інфляційні очікування змінюються адаптивно:

(8.6)

У кожний момент часу очікування змінюються пропорційно до відхилення реальної та очікуваної інфляції.

Реальну вартість активів у цій моделі розглядають як суму приростів реальної вартості грошей та державних облігацій:

. (8.7)

Миттєві прирости реальної вартості грошей та облігацій подаються рівняннями:

(8.8)

де M_t ¢, В_t ¢, m ¢, b_t ¢ — перші похідні за часом, що характеризують тем­пи зміни грошової маси та державного боргу.

Держава фінансує свої реальні фактичні витрати G за рахунок податків T. Вона має профінансувати первинний дефіцит P (G – T), а також обслуговувати за ринковою процентною став­кою r державні борги rB, нагромаджені до цього часу. Виконати ці завдання можна за допомогою грошової емісії M_t ¢та запозичень на вільному ринку В_t ¢. Отже, для кожного моменту часу має справджуватися рівняння фінансування бюджетного дефіциту:

(8.9)

Аналогічне рівняння фінансування бюджетного дефіциту в реальному вимірі можна дістати підстановкою (8.8) у (8.9):

(8.10)

Отже, модель являє собою систему, що складається з семи рів­нянь (8.1)—(8.6) і (8.10) і містить сім невідомих. Ця модель дає змогу відстежувати реакцію макроекономіки на зміну параметрів системи, яка визначається знаками відповідних перших похідних (табл. 8.1).

Короткострокові макроекономічні ефекти

23. Трисекторна модель економіки

Агреговані моделі економіки використовують для аналізу основних тенденцій розвитку економіки протягом тривалого періоду часу: п’яти, десяти, двадцяти років. У таких моделях економіка описується за допомогою невеликої кількості показників. У разі дослідження довгострокових тенденцій розвитку економіки деталізувати модель не має особливого сенсу, оскільки деталізована модель ускладнюється, потребуючи прогнозування значень численних параметрів на довгострокову перспективу, що на практиці важко здійснити.

Розглянемо одну з найбільш агрегованих моделей — узагальнення моделі Солоу, а саме трисекторну модель, в якій виокремлюють:

· нульовий сектор, що виробляє предмети праці;

· перший сектор, в якому створюються засоби праці;

· другий сектор, в якому виробляються споживчі товари.

До нульового матеріального сектору відносять такі галузі: добувну промисловість, електроенергетику, нафтопереробну галузь, металургію, промислову хімію тощо.

До першого (виробничого) сектору — машинобудівну галузь, металообробку, промислове будівництво.

До другого (споживчого) сектору — переробку сільськогосподарської продукції, легку та харчову промисловість, деревообробку, побутову хімію, пасажирський транспорт, торгівлю предметами споживання, громадський зв’язок тощо.

Виробничі можливості кожного із секторів задаються у вигляді неокласичних виробничих функцій:

,

де X, K, L — випуск, основні фонди та кількість зайнятих у відповідних секторах.

Стан економіки в моделі Солоу задається ендогенними змінними, до яких належать [6]: Y — валовий внутрішній продукт (ВВП); C — фонд невиробничого споживання; I_і — інвестиції; L_і — кількість зайнятих; K_і — фонди. Окрім цього в моделі застосовуються такі екзогенні змінні: n — річний темп приросту зай-
нятих (–1 < n < 1); m _і — частка вибулих протягом року виробничих фондів (0 < m < 1); r — норма нагромадження (частка валових інвестицій у ВВП, 0 < r < 1). Графічну модель трисекторної економіки наведено на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Модель трисекторної економіки

Згідно зі сказаним, використовуючи основні передумови моделі Солоу, можна дістати трисекторну модель:

L = L (0)exp(vt) (кількість зайнятих);

L ₀ + L ₁ + L ₂ = L (розподіл тих, хто працює за секторами);

динаміка продукції:

Y ₁ = I ₀ + I ₁ + I ₂ (розподіл продукції першого сектору);

Y ₀ = а ₀ Y ₀ + а ₁ Y ₁ + а ₂ Y ₂ (розподіл продукції матеріального сектору);

де а_і — коефіцієнти повних матеріальних витрат за секторами.

У відносних показниках ця модель набирає вигляду:

де q _і = L_i / L — частка зайнятих у відповідних секторах;
s_i = I_i / Y_i — частка інвестицій в і- й сектор у загальному обсязі
інвестицій; — продуктивність праці в і- му
секторі.

Останнє рівняння моделі можна подати в іншій формі:

де y_i = Y_i / L продуктивність і -го сектора, тобто випуск продукції
і -го типу на одного зайнятого в економіці, причому y_i = q _if_i (k_i).

В цій моделі параметри а ₀, а ₁, а ₂, m₀, m₁, m₂ ендогенні, що вважаються сталими, а параметри q₀, q₁, q₂, s ₀, s ₁, s ₂ є управляючими.

24. Динамічні міжгалузеві балансові моделі

Розглянуті в попередній темі міжгалузеві балансові моделі є статичними, тобто такими, в яких усі залежності стосуються одного й того самого моменту часу. Ці моделі можуть розроблятися лише для окремо взятих періодів, причому в межах таких моделей не встановлюється зв’язок із попередніми чи наступними періодами. Економічна динаміка відображається, таким чином, поза рамками побудованих моделей, що, очевидно, вносить певне спрощення та звужує можливості аналізу.

До таких спрощень насамперед варто віднести те, що у статичних МГБ не аналізуються розподіл, використання та виробнича ефективність інвестицій. Інвестиції винесено зі сфери виробництва до сфери кінцевого використання разом із предметами споживання та невиробничих витрат, тобто включено до кінцевого продукту.

Розглянемо динамічну модель, побудовану як розвиток статичної МГБ, де виробничі капітальні вкладення виокремлюються зі складу кінцевої продукції, досліджується їхня структура і вплив на зростання обсягу виробництва. В основу побудови моделі у вигляді динамічної системи рівнянь покладено математичну залежність між обсягом капітальних вкладень і приростом продукції. Розв’язок системи, як і в разі статичної моделі, приводить до певних рівнів виробництва, але в динамічному варіанті на відміну від статичного ці шукані рівні залежать від обсягів виробництва в попередніх періодах.

Принципову схему квадрантів І і ІІ динамічного міжгалузевого балансу ілюструє табл. 8.2.

Модель містить дві матриці міжгалузевих потоків. Матриця поточних виробничих витрат з елементами x_ij збігається з відповідною матрицею статичного балансу. Елементи другої матриці Δ Ф_ij показують, яку кількість продукції i -ї галузі в поточному періоді j -та галузь спрямовує як виробничі капітальні вкладення у свої основні фонди. Матеріально це виражається у прирості обсягів виробничого устаткування, споруджень, виробничих площ, транспортних засобів тощо в галузях, що споживають відповідну продукцію.

Таблиця 8.2

Принципова схема динамічного балансу

У статичному балансі потоки капіталовкладень не диференцію­ються за галузями-споживачами і подаються загальною вели­чиною у складі кінцевої продукції Y_i кожної i -ї галузі. У динамічній схемі кінцевий продукт Y_i містить продукцію i -ї галузі, що йде на особисте та суспільне споживання, нагромадження невиробничої сфери, приріст оборотних фондів, незавершеного будів­ництва, на експорт тощо. Отже, сума потоків капіталовкладень і кінцевого продукту Y_і ¢динамічної моделі дорівнює кінцевій продукції статичного балансу:

тому рівняння розподілу продукції в динамічному балансі набирає вигляду:

Міжгалузеві потоки поточних витрат, як і у статичній моделі, можна подати через валову продукцію галузей за допомогою коефіцієнтів прямих матеріальних витрат: x_ij = a_ijX_j.

На відміну від потоків поточних витрат міжгалузеві потоки капітальних вкладень пов’язані не з усім обсягом випуску продукції, а лише з її приростом, який вони зумовлюють. При цьому в наведеній моделі передбачається, що приріст продукції поточного періоду зумовлюється вкладеннями, зробленими в цьому самому періоді. Якщо поточний період позначити через t, то приріст продукції Δ Х_j дорівнює різниці абсолютних рівнів виробництва в період t і в попередній щодо нього (t – 1)-й період:

Вважаючи, що приріст продукції пропорційний до приросту виробничих фондів, дістаємо:

Розглянемо в останній рівності коефіцієнти пропорційності φ _ij. Оскільки

то економічний зміст цих коефіцієнтів полягає в тому, що вони показують, скільки продукції i -ї галузі потрібно вкласти в j -ту галузь, щоб збільшити виробничу потужність j- ї галузі на одиницю продукції. Передбачається, що виробничі потужності використовуються цілком і приріст продукції дорівнює приросту потужності. Коефіцієнти φ _ij називаються коефіцієнтами вкладень, або коефіцієнтами прирісної фондомісткості.

За допомогою коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і коефіцієнтів вкладень φ _ij динамічну систему рівнянь можна подати в такому вигляді:

Ця система являє собою систему лінійних різницевих рівнянь
1-го порядку. Її можна звести до звичайної системи лінійних рівнянь, урахувавши, що всі обсяги валової і кінцевої продукції належать деякому періоду t, а приріст валової продукції визначено порівняно з (t – 1)-м періодом:

Звідси випливають такі співвідношення:

Нехай нам відомі обсяги валової продукції всіх галузей у попередньому періоді (величини X_j ^{(t –1)}) і кінцевий продукт галузей у періоді t. Тоді останні співвідношення являють собою систему n лінійних рівнянь із n невідомими обсягами виробництва t -гo періоду. Отже, розв’язок динамічної системи лінійних рівнянь дає змогу визначити випуск продукції в наступному періоді залежно від рівня, досягнутого в попередньому періоді. Зв’язок між періодами встановлюється через коефіцієнти вкладень φ _ij, що характеризують фондомісткість одиниці приросту продукції.

Переходячи від дискретного аналізу до неперервного, дістаємо:

.

Або, переходячи до границі, маємо:

Остаточно для випадку неперервних змін дістаємо таку систему співвідношень:

Здобуте співвідношення являє собою систему n лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Для її розв’язання окрім матриць коефіцієнтів прямих матеріальних поточ­них витрат і коефіцієнтів капітальних витрат (вкладень) необхідно
знати рівні валового випуску в початковий момент часу t = 0 та закон зміни обсягу кінцевого продукту, тобто вид

У динамічній моделі особливу роль відіграють коефіцієнти прирісної фондомісткості φ _ij. Вони утворюють квадратну матрицю n- го порядку:

кожен стовпець якої характеризує для відповідної j- ї галузі розмір та структуру фондів, необхідних для збільшення на одиницю її виробничої потужності (випуску продукції). Матриця коефіцієнтів прирісної фондомісткості дає підстави для подальшого економічного аналізу та планування капітальних вкладень.

У розглянутій динамічній моделі МГБ передбачається, що приріст продукції поточного періоду зумовлений капіталовкладеннями, зробленими в цьому самому періоді. Для порівняно коротких періодів це припущення може виявитися нереальним, оскільки існують відомі, іноді доволі значні відставання в часі (так звані часові лаги) між вкладенням засобів у виробничі фонди і приростом випуску продукції. Моделі, що так чи інакше враховують лаги капітальних вкладень, утворюють особливу групу динамічних моделей міжгалузевого балансу. З-поміж теоретичних моделей цього типу варто виокремити насамперед лінійну динамічну МГБ Леонтьева, в якій капітальні вкладення подаються у вигляді так званого інвестиційного блока у формі Леонтьєва. Модель Неймана. Раніше було розглянуто трисекторну нелінійну динамічну модель економіки. Коли йдеться про розгляд багатьох галузей, доводиться відмовлятися від нелінійності через численні труднощі, що пов’язані з нею. Проте дослідження навіть лі­нійних динамічних багатогалузевих моделей також становить певні труднощі, хоча й приводить до змістовних економічних висновків.

У моделі подано n продуктів і m способів їх виробництва, кожний j -й спосіб задається вектором-стовпцем витрат а_j і вектором-стовпцем випусків b_j у розрахунку на одиницю інтенсивності процесу:

З векторів витрат і випуску утворюються матриці витрат і випуску:

Коефіцієнти витрат а_ij, і випуску b_ij невід’ємні. Природно припустити, що для реалізації будь-якого процесу необхідні витрати хоча б одного продукту, тобто для кожного j знайдеться хоча б одне і,таке що a_ij > 0, і кожен продукт може бути зроблений хоча б одним способом, тобто для кожного i існує деяке j, таке що b_ij > 0. З цієї умови випливає, що кожний стовпець матриці А та кожен рядок матриці В повинні мати принаймні один додатний елемент.

Інтенсивність процесів має бути також невід’ємною: j = 1, …, m.

Позначимо через x_t вектор-стовпець інтенсивності виробництва:

а через р_t — вектор-рядок невід’ємних цін: p_t = (p ₁(t), p ₂(t), …, p_n (t)).

Вектор у_t = Аx_t — це вектор витрат за заданого вектора інтенсивності процесів x_t, а вектор z_t = Вx_t — вектор випусків.

Модель Неймана описує замкнену економіку в тому сенсі, що для виробництва продукції в наступному виробничому циклі (протягом року t витрачається продукція, виготовлена в попередньому виробничому циклі, тобто протягом року (t – 1)):

при цьому передбачається, що задано початковий вектор запасів Вх ₀ ≥ 0. Це модель Неймана в натуральній формі.

У рамках моделі Неймана можна ставити і розв’язувати оптимізаційні економічні задачі. Найбільше оптимізаційна задача формулюється так: знайти оптимум лінійної функції стану наприкінці розглянутого періоду:

25. Макроеконометричні моделі

Головною метою макроекономічного моделювання є опис кіль­кісних і якісних аспектів економічних явищ та процесів за допомогою системи економетричних рівнянь (стохастичних регресійних рівнянь, трендів, балансових співвідношень тощо), що дає змогу на основі ретроспективної інформації аналітично або чисель­но визначити фактори майбутнього економічного розвитку та з’ясувати наслідки проведення економічної політики.Будуючи макроеконометричні моделі, намагаються подати основ­ні співвідношення, що визначають розвиток економіки, у структурному вигляді з урахуванням жорстких природних обмежень, які накладаються низкою тотожних співвідношень та пов’язують одну з одною різні групи показників. Коефіцієнти моделей оцінюються за наявними історичними даними, далі рівняння моделей розв’язують­ся на підставі інформації за останній час (ретроспективний прогноз) і, можливо, згідно з певними припущеннями стосовно майбутньої економічної політики та поводження деяких змінних, а потім розроб­ляється, нарешті, низка прогнозів. Остаточний прогноз, як правило, являє собою компроміс між вихідними даними моделі, з одного боку, і рівнем інтуїції та досвіду дослідника — з другого.

Будуючи економетричні моделі, взаємозв’язки між змінними та рівняннями визначають на підставі інформації, що узгоджується з економічною теорією, практичним досвідом і має економічний сенс.

У разі побудови макромоделей економіку країни подають у вигляді сукупності взаємозв’язаних блоків або агрегатів (рис. 8.2). Блочний принцип побудови допомагає розкривати й моделювати взаємозв’язки між блоками, краще усвідомлюючи функціонування кожного з них.

Рис. 8.2. Спрощена структурна схема макромоделі
економічного прогнозування економіки України [3]

Кожний блок описує функціонування певного сектору економіки. При цьому економіку поділяють на монетарний (гроші та ціни) і реальний (виробничий) сектори. Часто виокремлюють блоки зовнішньоекономічної діяльності, формування бюджету, сектору ринку праці тощо [8].

Модель реального сектору містить базові макроекономічні тотожності, на основі яких формуються складові ВВП за різними методами обчислення. Модель складається з двох блоків: блок пропозиції та блок агрегованого попиту. Перший формує вироб­ничу функцію (сума валового внутрішнього продукту й імпорту), що залежить від основних фондів, зайнятості та імпорту кінцевих товарів та послуг і лагових змінних. У блоці присутні функції зай­нятості та основних фондів.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: