Достаточное условие. Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х₀ есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х₀ функция иммет максимум,а если f’’(x)>0, то функция имеет в точке х₀ минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x₀)

f’’(x₀)=lim-------------

x-x₀

По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому

f’(x)

f’’=lim----------

x-x₀

Допустим, что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x₀-,x₀+), в котором переменная величина f’(x)/(x-x₀) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

f’(x)

----------<0 (x₀- <x<x₀+)

x-x₀

Отсюда следует,что f’(x)>0, если х-х₀<0, или х>х₀, и f’(x)<0, если х-х₀>0, или х>х₀. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х₀ функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х₀ подвергаем испытанию:

- если f’’(x)>0, то х₀ – точка минимума функции;

- если f’’(x)<0, то х₀ – точка максимума функции.

Замечание 1: если f’’(x)=0,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать, а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным: вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: