Метод множетелей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.

В этом пункте будем предполагать, что все функции f₀,f₁,f₂,…, f_m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G.

Теорема 6.1: пусть x⁽⁰⁾– точка условного экстремума функции f₀ при выполнении уравнений связи (6.3).Тогда в этой точке градиенты f₁, f₂,…, f_m линейно независимы, т.е. существуют такие не все равные нулю, числа ₀, ₁, ₂,…, _m что

₀ f₀+ ₁f₁+ ₂f₂+…+ _mf_m=0 (6.8)

Следствие: если в точке x⁽⁰⁾ условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3) градиенты f₁, f₂,…, f_m линейно независимы, то ранг матрицы Якоби

f_j j=1,2,…,m

x_i i=1,2,…,n

равен m, то существуют такие ₁,…, _m, что в этой точке

f₀+ _i f_j=0 (6.9)

т.е. f₀ является линейной комбинацией градиентов f₁, f₂,…, f_m.

В координатной форме это условие имеет вид: для любого i=1,2,…,n в точке x⁽⁰⁾

f₀ f_i

x_i x_i (6.10)

функция

F(x)==f₀(x)+ _jf_j(x) (6.11)

где числа ₁,…, _m удовлетворяют условию(6.10), называется функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа ₁,…, _m – множителями Лагранжа.

Условие (6.10) означает, что если x⁽⁰⁾ является точкой условного экстремума функции f₀ относительно уравнений связи (6.3), то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т.е.

F(x⁽⁰⁾)

x_i i=1,2,…,n (6.12)

Прежде, чем доказать теорему, разъясним ее смысл и покажем, как ее использовать для нахождения точек условного экстремума. Прежде всего обратим внимание на то, что у функции вида (6.11) при произвольных числах ₁,…, _m, каждая точка ее условного экстремума является и точкой условного экстремума исходной функции f₀, и наоборот.Мы выбираем такие значения ₁,…, _m, чтобы выполнялись условия (6.10), т.е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой фуцнкции (6.9).

Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему n+m уравнений (6.3) и (6.8) относительно неизвестных x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾, ₁,…, _m и решить ее (если это возможно), найдя x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾ и по возможности исключив ₁,…, _m.Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находится среди найденных таким образом точек (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾).Вопрос о том, какие же из них фактически будут точками условного экстремума, требует дополнительного исследования, об этом будет говориться в п.6.5

Доказательство теоремы. Докажем утверждение равносильное теореме: если в точке x⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), удовлетворяющей уравнениям связи

f_k(x⁽⁰⁾)=0 k=1,2,…,n (6.13)

градиенты f₀, f₁, f₂,…, f_m линейно независимы, то x⁽⁰⁾ не является точкой условного экстремума.

Итак, пусть f₀, f₁, f₂,…, f_m линейно независимы и, следовательно, ранг матрицы Якоби f_j/ x_i j=1,2,…,m,i=1,2,…,n равен m+1.Тогда в матрице существует минор порядка m+1 не равный нулю.Для определенности будем считать, что он образован первыми m+1 столбцами, т.е.

(f₀, f₁, f₂,…, f_m)

(x₁,x₂,…,x_m+1) x=x⁽⁰⁾ (6.14)

Множество G–открыто, а поэтому существует такое 0₀>0, что при всех 0 0<0<0₀ , куб

Q ⁿ={x: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,n}

лежит в G и, следовательно, на нем определены все функции f₀, f₁, f₂,…, f_m.

Зафиксируем x_m+2= x⁽⁰⁾_m+2,…, x_n=x_n⁽⁰⁾ и введем обозначения

x^*=(x₁,x₂,…,x_m+1)

Q ^m+1={x^*: x_i-x_i⁽⁰⁾ <0,i=1,2,…,m+1}

Очевидно, функции f_j(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) j=1,2,…,m определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q ^m+1.Рассмотрим отображение Ф: Q ^m+1 R^m+1, задаваемое формулами

y₁= f₀(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

y₂= f₁(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

…………………………………… (6.15)

y_m+1= f_m(x₁,x₂,…,x_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾)

В силу (6.15) для точки x^*(0)=(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) имеем

(y₁, y₂,…, y_m+1) (f₀, f₁, f₂,…, f_m)

(x₁,x₂,…,x_m+1) x^*= x^*(0) (x₁,x₂,…,x_m+1) x=x⁽⁰⁾

а в силу (6.13) Ф(x^*(0))=(f₀(x⁽⁰⁾,0,…,0).Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке, в которой его якобиан не равен нулю, существует такое число >0, что на окрестности

V={y=(y₁, y₂,…, y_m+1): y₁- f₀(x⁽⁰⁾) <, y_j<,j=2,3,…,m}

В частности, поскольку при любом n,0<n<,имеет место включение (f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0), то в кубе найдутся точки x`<sup>*</sup>=(x`₁,x`<sub>2</sub>,…,x`_m+1) и x``<sup>*</sup>=(x``₁,x``<sub>2</sub>,…,x``_m+1), отображающиеся при отображении Ф в указанные точки окрестностиV`.

Ф(x`^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)+n,0,…,0)

Ф(x``^*)=(f₀(x⁽⁰⁾)-n,0,…,0)

Если положим для краткости x`=(x`₁,x`<sub>2</sub>,…,x`_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾) и x``=(x``₁,x``<sub>2</sub>,…,x``_m+1,x⁽⁰⁾_m+2,…,x_n⁽⁰⁾), то в координатной записи (6.15) получим

f₀(x`)= f<sub>0</sub>(x<sup>(0)</sup>)+n> f(x<sup>(0)</sup>), f<sub>k</sub>(x`)=0, k=1,2,…,n, x` Q ⁿ

и

f₀(x``)= f<sub>0</sub>(x<sup>(0)</sup>)-n> f(x<sup>(0)</sup>), f<sub>k</sub>(x``)=0, k=1,2,…,n, x`` Q ⁿ

В силу произвольности 0>0,0<0<0, это и означает, что x⁽⁰⁾ не является точкой условного экстремума.

ч.т.д.

Доказательство следствея. Если векторы f₁, f₂,…, f_m линейно независимы, то в равенстве (6.8) имеем ₀=0 так как в случае ₀=0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми.Разделив обе части на ₀ получим равенство вида (6.9).

ч.т.д.

Пример №5.

Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Ф_x =yzt+ =0

Ф_y =xzt+ =0

Ф_z =yxt+ =0

Ф_t =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: