Необходимые условия экстремума. Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x⁰,y⁰,z⁰) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x⁰-,x⁰+, y⁰-,y⁰+,z⁰-,z⁰+)

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z)<f(x⁰,y⁰,z⁰)

(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x⁰,y⁰,z⁰) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z)<f(x⁰,y⁰,z⁰)

(>)

то говорят, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x⁰,y⁰,z⁰) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные

f_x’(x⁰,y⁰,z⁰), f_y’(x⁰,y⁰,z⁰),f_z’(x⁰,y⁰,z⁰)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим y= y⁰,z= z⁰ сохраняя х переменным; тогда у нас получится функция от одной переменной х:

v=f(x, y⁰,z⁰)

Так как мы предположили, что в точке (x⁰,y⁰,z⁰) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x⁰-,x⁰+) точки x=x⁰, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y⁰,z⁰)<f(x⁰,y⁰,z⁰)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

f_x’(x⁰,y⁰,z⁰)=0

Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

f_x’(x,y,z)=0

f_y’(x,y,z)=0 (4.2)

f_z’(x,y,z)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: