Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:

, где

х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей).

Модуль (длина) вектора определяется по формуле:

(3.1.1)

Если известны координаты начала и конца В()вектора, то вектор можно записать следующим образом:

(3.1.2)

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

.

Отсюда нетрудно определить угол между векторами

. (3.1.3)

Если векторы и заданы своими проекциями = и = , то скалярное произведение находится по формуле:

. (3.1.4)

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

. (3.1.5)

Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:

1) вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;

2) векторы , и образуют правую тройку;

3) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

.

Для векторов, заданных проекциями = и = , векторное произведение имеет вид:

. (3.1.6)

Отсюда, условие коллинеарности векторов:

. (3.1.7)

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е.:

() .

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Если векторы заданы проекциями = , = и = , то смешанное произведение имеет вид:

. (3.1.8)

Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:

. (3.1.9)

Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.

Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно вектору имеет вид:

. (3.1.10)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид:

(3.1.11)

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

, (3.1.12)

где ()-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:

. (3.1.13)

Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:

. (3.1.14)

Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.

Пример 6.

Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);

В(0, 1, 5).

Решение.

Используя формулу (3.1.2) получим:

=(0-1) = .

Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:

(ед.дл.)

Пример 7.

Найти угол между векторами и .

Решение.

Используя формулу (3.1.3), получим:

,

что соответствует углу .

Пример 8.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и

, выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :

.

Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):

Тогда искомая площадь будет:

(кв.ед.)

Пример 9.

Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:

.

Решение:

Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен

, где ,

где -смешанное произведение векторов.

Величину найдем по формуле (3.1.8):

=

Тогда (куб.ед.).

Пример 10.

Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).

Решение:

Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:

; ; .

Пример 11.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);

В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).

Решение:

Используя уравнение (3.1.11), получим:

(х-1) ,

Пример 12.

Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости

Решение.

Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:

.

Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).

В нашем случае это будет: , тогда будем иметь: .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором?

2. Как найти проекции вектора, если известны координаты его начала и конца?

3. Что такое модуль вектора и как его найти?

4. Чему равно скалярное произведение векторов, заданных проекциями?

5. Как найти угол между векторами?

6. Чему равна площадь треугольника?

7. Чему равен объем пирамиды?

8. Напишите канонические уравнения прямой.

9. Как найти прямую, проходящую через две точки?

10. Как найти уравнение плоскости, проходящей через три точки?

11. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: