Шредингер теңдеуі

Классикалық механикада күш және өріс әсерінен қозғалатын бөлшектің координаттары мен импульстарының бұрынғы және болашақ мәндерін қозғалыс теңдеуі арқылы бірмәнді анықтауға болады. Ал микробөлшектер үшін бұл әдіс қолдануға келмейді.

Сонда бөлшек қозғалысын бейнелеу үшін толқындық функция пайдаланылады. Ендігі негізгі мәселе толқындық функцияның кеңістіктегі және уақыт бойынша өзгерісін бейнелейтін жалпы заңды, немесе толқындық өрістің қозғалыс заңын тағайындау болып табылады.

Зат бөлшектерінің толқындық қасиеттері жайындағы де Бройль идеясын дамыта келе, австрия физигі Э. Шредингер (1887-1961) өзінің атақты теңдеуін ұсынды (1926ж.). Осы теңдеу әр түрлі күш өрістерінде қозғалатын бөлшектің толқындық функцияларын табуға мүмкіндік береді. Шредингер теңдеуі былай жазылады:

(4.5)

мұндағы m – бөлшек массасы, і – жорамал бірлік, - бөлшектің потенциалдық энергиясы, – Лаплас операторы. (4.5) теңдеуінен толқындық функцияның түрін функция, яғни түптеп келгенде бөлшекке әсер ететін күштердің сипаты анықтайтындығы шығады.

Шредингер теңдеуі қорытылып шығарылмайды. Оны бастапқы негізгі ұйғарым деп қарастыру керек. Шредингер теңдеуінің дұрыстығы теория нәтижелерінің эксперимент деректерімен толық үйлесуімен, және де практикада қолданыс тапқан, мысалы, мазерлерде, лазерлерде, жартылай өткізгішті қондырғыларда және т.т. көптеген болжауларымен расталады.

Стационарлық күйлер. Кванттық теорияда ерекше рольді стационарлық күйлер атқарады, бұларда барлық бақыланатын физикалық шамалар уақыт өткенде өзгермейді.

– функцияның өзі негізінде бақыланайды. Стационарлық күйлерде ол мына түрге келеді:

e, , (4.6)

мұндағы – функция уақытқа тәуелді емес.

– функцияның осылай өрнектелгенде ықтималдық тығыздығы тұрақты болып табылады. Шынында да

(4.7)

яғни ықтималдық тығыздығы уақытқа тәуелді емес.

Стационарлық күйлердегі - функцияны табу үшін (4.6) өрнекті (4.5) теңдеуіне қоямыз, сонда мына теңдеу шығады:

(4.8)

Бұл теңдеу стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі деп

аталады. (4.5) теңдеуін Шредингердің жалпы теңдеуі дейді.

Бүдан былай тек (4.8) теңдеуімен істес боламыз жэне ол мына түрде жазылады:

(4.9)

Шредингер теңдеуі берілген күйдің толкындык функңиясын табуға, демек кеңістіктің әр түрлі нүктелерінде бөлшектің болу ыктималдығын аныктауға мүмкіндік береді.

Квантталу. Бордың теориясында квантталу жасанды түрде ендірілген болса, Шредингер теориясында ол өзінен-өзі шыгады. Сонда (4.9) теңдеуінің шешімдері ішінен физикалық мағынаға табиғи немесе үлгі (стандарт) шарттарды канағаттандыратын шешімдері ғана ие болатынын ескеру жеткілікті болады. Осы шарттарға сәйкес барлык кеңістікте ( ) -функңия шектелген, бір мэнді, үздіксіз болуы тиіс. Бүл дифференңиалдык теңдеудің ізделіп отырған шешіміне койылатын әдеттегі математикалык талаптар болып табылады.

Осы шарттарды канағаттандыратын шешімдер Е энергияның кейбір мэндерінде ғана мүмкін болады екен. Бүларды меншікті мэндер деп, ал энергияның осы мэндерінде (4.9) теңдеуінің шешімдері болып табылатын ( ) -функциялары E -нің меншікті мэндеріне сай меншікті функциялар деп аталады. Квантталудың табиғи жэне жалпы принципі осы.

Я-энергияның меншікті мэндері тиісті стационарлык күйлерге сай энергияның мүмкін мәндері ретінде кабылданады. E -энергияның осы мәндері дискретті немесе үздіксіз энергетикалық спектр түзіп дискретті (квантталған) немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Осы теңдеуді түжырымдап, Шредингер оны бірден сутегі атомына қолданды. Сонда энергия деңгейлерінің спектрі үшін Бордың теория-сында алынған спектрмен дэл келетін, демек, бакылау нәтижелерімен дэл келетін спектр алды.

Релятивтік емес механикада динамиканың негізгі теңдеуі (Ньютонның 2-заңы) кандай роль аткаратын болса, Шредингер теңдеуі кванттык теорияда сондай роль аткарады.

5-дэріс. Кванттық механиканыц қараиайым есептері. Тікбұрышты потенциалдық шүнқырдағы болшек. Сызыктық гармоникалык осциллятор.

5.1. Кванттық механиканың қарапайым бір өлшемді есептері

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: