Свойства числовых неравенств

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Если два действительных числа a и b соединены одним из знаков неравенств:

a < b, или a > b, или a ≤ b, или a ≥ b, или a ≠ b,

то говорят, что задано числовое неравенство.

При этом неравенства a > b и a < b называются строгими,

а неравенства a ≥ b и a ≤ b – нестрогими.

Числовое неравенство может быть верным либо неверным.

Утв. 1. a > b Û a − b > 0.

Утв. 2. a < b Û a − b < 0.

Утв. 3. Если a > 0, то(− a) < 0; если a < 0, то (− a) > 0.

Свойства числовых неравенств

Пусть a, b, c, d – произвольные действительные числа.

1. a > b Û b < a.

2. a > b, b > c Þ a > c.

3. a > b (c Î R) Û a + c > b + c.

4. a) Eсли c > 0, то a > b Û a×c > b×c;

б) Eсли c < 0, то a > b Û a×c < b×c.

5. a > b, c > d Þ a + c > b + d.

6. a > b (b ≥ 0) и c > d (d ≥ 0) Þ a × c > b × d.

7. b > 0 Û 1/ b > 0; b < 0 Û 1/ b < 0.

8. Eсли a > 0, b > 0 (или a < 0, b < 0), то a > b Û 1/ a < 1/ b.

Следствие. a / b > 0 Û ab > 0; a / b < 0 Û ab < 0.

9. a > b (b > 0) Þ aⁿ > bⁿ.

Пример 2.

Известно, что –3 < a £ 2 и 5 < b < 6. Оценить значения:

а) a + b; б) a – b; в) ab; г) a / b.

Решение:

а) –3 < a £ 2 б) –3 < a £ 2

5 < b < 6 – 6 < – b < –5

2 < a + b < 8; –9 < a – b < –3;

в) –3 < a < 0 или 0 £ a £ 2

5 < b < 6

0 < – a < 3 0 £ аb < 12

5 < b < 6

0 < – ab < 18 Þ –18 < ab < 0

Объединяя полученные результаты, получим: –18 < ab < 12;

г) –3 < a < 0 или 0 £ a £ 2

1/6 < 1/ b < 1/5

0 < – a < 3 0 £ а / b < 2/5

1/6 < 1/ b < 1/5

0 < – a / b < 3/5 Þ –3/5 < a / b < 0

Объединяя полученные результаты, получим: –3/5 < a / b < 2/5.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: