ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Некоторые известные алгебраические неравенства1. Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел:
1) Если a > 0, то справедливо неравенство a + (1/ a) ≥ 2, причём неравенство обращается в равенство только при a = 1. 2) Если a < 0, то справедливо неравенство a + (1/ a) ≤ −2, причём неравенство обращается в равенство только при a = −1.
Следствие. Если a и b – два числа одного знака, т.е. ab > 0, то справедливо неравенство а / b + b / а ≥ 2. 2. Соотношения между средними величинами – среднее арифметическое неотрицательных чисел а 1, а 2, …, аn. – среднее геометрическое неотрицательных чисел а 1, а 2, …, аn. – среднее гармоническое положительных чисел а 1, а 2, …, аn. – среднее квадратичное неотрицательных чисел а 1, а 2, …, аn. – среднее степенное порядка a положительных чисел а 1, а 2, …, аn.
Большему значению a соответствует большее значение Vn (a). 0 ≤ min (a 1; a 2; …; an) ≤ Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Sn ≤ max (a 1; a 2; …; an)
В частности, неравенство Коши между средним геометрическим и средним арифметическим: , если а 1, а 2, …, аn – неотрицательные числа
Для двух положительных чисел а и b справедливо:
0 ≤ min (a, b) £ £ £ £ 3. Неравенство Бернулли с натуральным показателем.
При любом действительном x (x > −1) и при любом натуральном n справедливо неравенство (1 + x) n ≥ 1+ nx. 4. Неравенство Бернулли с произвольным показателем. Пусть x, r Î R, x > −1, r ≠ 0, r ≠ 1. Тогда справедливы неравенства
(1 + x) r ≤ 1+ xr, если 0 < r < 1, (1 + x) r ≥ 1+ xr, если r Ï [0,1],
причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0. 5. Неравенство Бернулли для n чисел.
Пусть x 1, x 2,..., xn ― числа одного знака, xi > −1, i = 1, 2,..., n. Тогда
(1 + x 1)(1 + x 2)×…×(1 + x n) ≥ 1+ x 1 + x 2 +... + xn. 6. Неравенство Коши–Буняковского.
Для любых действительных чисел a 1, a 2,..., an и b 1, b 2,..., bn справедливо неравенство:
, или
7. Свойства модуля а) | x + y | £ | x | + | y |; б) | x – y | ³ | x | – | y |. Пример 3. Сравнить два числа и , где a и b – неотрицательные числа, а ¹ b. Решение: Преобразуем числа к виду , После деления обоих чисел на 2, приходим к неравенству между средними арифметическим и геометрическим для чисел (а + b) и . . Таким образом, первое число больше.
Пример 4. Пусть a + b + c = 1. Доказать справедливость неравенства a 2 + b 2 + c 2 ³ 1/3 для произвольных действительных чисел a, b, c. Доказательство: Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского: при n = 3, полагая а 1 = а, а 2 = b, a 3 = c и b 1 = b 2 = b 3 = 1. 1 = =3(a 2 + b 2 + c 2) После деления последнего неравенства на 3 получаем исходное неравенство доказанным.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|