Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Некоторые известные алгебраические неравенства




1. Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел:

 

1) Если a > 0 , то справедливо неравенство a + (1/a) ≥ 2,

причём неравенство обращается в равенство только при a = 1.

2) Если a < 0 , то справедливо неравенство a + (1/a) ≤ −2,

причём неравенство обращается в равенство только при a = −1.

 

Следствие. Если a и b – два числа одного знака, т.е. ab > 0, то справедливо неравенство а/b + b/а ≥ 2.

2. Соотношения между средними величинами

– среднее арифметическое неотрицательных чисел а1, а2, …, аn.

– среднее геометрическое неотрицательных чисел а1, а2, …, аn.

– среднее гармоническое положительных чисел а1, а2, …, аn.

– среднее квадратичное неотрицательных чисел а1, а2, …, аn.

– среднее степенное порядка a

положительных чисел а1, а2, …, аn.

 

Большему значению a соответствует большее значение Vn(a).

0 ≤ min (a1; a2; …; an) ≤ Hn Gn An Sn ≤ max (a1; a2; …; an)

 

В частности, неравенство Коши между средним геометрическим и средним арифметическим: , если а1, а2, …, аn – неотрицательные числа

 

Для двух положительных чисел а и b справедливо:

 

0 ≤ min (a, b) £ £ £ £

3. Неравенство Бернулли с натуральным показателем.

 

При любом действительном x ( x > −1) и при любом натуральном n справедливо неравенство

(1 + x)n ≥ 1+ nx.

4. Неравенство Бернулли с произвольным показателем.

Пусть x , r Î R, x > −1, r ≠ 0 , r ≠ 1. Тогда справедливы неравенства

 

(1 + x)r ≤ 1+ xr, если 0 < r < 1,

(1 + x)r ≥ 1+ xr, если r Ï [0,1],

 

причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0.

5. Неравенство Бернулли для n чисел.

 

Пусть x1, x2,..., xn ― числа одного знака, xi > −1, i = 1, 2,..., n . Тогда

 

(1 + x1)(1 + x2)×…×(1 + xn) ≥ 1+ x1 + x2 + ... + xn.

6. Неравенство Коши–Буняковского.

 

Для любых действительных чисел a1, a2,..., an и b1, b2,..., bn справедливо неравенство:

 

, или

 

7. Свойства модуля

а) | x + y | £ | x | + | y | ; б) | xy | ³ | x | – | y | .

Пример 3.

Сравнить два числа и , где a и b – неотрицательные числа, а ¹b.

Решение:

Преобразуем числа к виду

,

После деления обоих чисел на 2, приходим к неравенству между средними арифметическим и геометрическим для чисел (а + b) и .

.

Таким образом, первое число больше.

 

Пример 4.

Пусть a + b + c = 1. Доказать справедливость неравенства a2 + b2 + c2 ³ 1/3

для произвольных действительных чисел a, b, c.

Доказательство:

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:

при n = 3, полагая а1 = а, а2 = b, a3 = c и b1 = b2 = b3 = 1.

1 = =3(a2 + b2 + c2)

После деления последнего неравенства на 3 получаем исходное неравенство доказанным.

 




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2019 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных