![]() Обратная связь ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Некоторые известные алгебраические неравенства
1. Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел:
1) Если a > 0 , то справедливо неравенство a + (1/a) ≥ 2, причём неравенство обращается в равенство только при a = 1. 2) Если a < 0 , то справедливо неравенство a + (1/a) ≤ −2, причём неравенство обращается в равенство только при a = −1.
Следствие. Если a и b – два числа одного знака, т.е. ab > 0, то справедливо неравенство а/b + b/а ≥ 2. 2. Соотношения между средними величинами
положительных чисел а1, а2, …, аn.
Большему значению a соответствует большее значение Vn(a). 0 ≤ min (a1; a2; …; an) ≤ Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Sn ≤ max (a1; a2; …; an)
В частности, неравенство Коши между средним геометрическим и средним арифметическим:
Для двух положительных чисел а и b справедливо:
0 ≤ min (a, b) £ 3. Неравенство Бернулли с натуральным показателем.
При любом действительном x ( x > −1) и при любом натуральном n справедливо неравенство (1 + x)n ≥ 1+ nx. 4. Неравенство Бернулли с произвольным показателем. Пусть x , r Î R, x > −1, r ≠ 0 , r ≠ 1. Тогда справедливы неравенства
(1 + x)r ≤ 1+ xr, если 0 < r < 1, (1 + x)r ≥ 1+ xr, если r Ï [0,1],
причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0. 5. Неравенство Бернулли для n чисел.
Пусть x1, x2,..., xn ― числа одного знака, xi > −1, i = 1, 2,..., n . Тогда
(1 + x1)(1 + x2)×…×(1 + xn) ≥ 1+ x1 + x2 + ... + xn. 6. Неравенство Коши–Буняковского.
Для любых действительных чисел a1, a2,..., an и b1, b2,..., bn справедливо неравенство:
7. Свойства модуля а) | x + y | £ | x | + | y | ; б) | x – y | ³ | x | – | y | . Пример 3. Сравнить два числа Решение: Преобразуем числа к виду
После деления обоих чисел на 2, приходим к неравенству между средними арифметическим и геометрическим для чисел (а + b) и
Таким образом, первое число больше.
Пример 4. Пусть a + b + c = 1. Доказать справедливость неравенства a2 + b2 + c2 ³ 1/3 для произвольных действительных чисел a, b, c. Доказательство: Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского: при n = 3, полагая а1 = а, а2 = b, a3 = c и b1 = b2 = b3 = 1. 1 = После деления последнего неравенства на 3 получаем исходное неравенство доказанным.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|