Методические указания к решению задачи. Вопрос об устойчивости приходится решать в случае сжатия стержня, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной

Вопрос об устойчивости приходится решать в случае сжатия стержня, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. При увеличении сжимающих сил прямолинейная форма равновесия стержня может оказаться неустойчивой, и стержень выпучится, ось его искривится. Это явление носит название продольного изгиба. Наибольшее значение сжимающей силы, до достижения которого прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой, называют критической силой.

Допускаемая сжимающая сила должна быть в несколько раз меньше критической. Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня можно записать так:

,

Определить критическое значение сжимающей силы можно, воспользовавшись формулой Эйлера , в которую входит величина J_min – момент инерции поперечного сечения, Е – модуль упругости, который для стали приближенно можно принять равным Е=2,1·10¹¹ Па.

Шарнирное закрепление обоих концов стержня принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня можно получить формулу для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси данного стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирно-закрепленными концами.

Для того, чтобы учесть различные варианты закрепления концов стержня, необходимо ввести в формулу Эйлера приведенную длину стержня , тогда она примет вид:

, (1)

где - коэффициент приведения длины (рис.2).

μ=1	μ=2	μ=0,5	μ=0,7
Рис. 2.

Найденное критическое значение сжимающей силы обеспечивает устойчивость рассматриваемого стержня, но разрушение конструкции может произойти и в результате разрушения материала. Условие прочности для сжатых стержней можно записать следующим образом:

где	N –	сжимающая нагрузка, действующая на стержень, кН;
	А –	площадь поперечного сечения стержня, м2;
	ψ –	коэффициент запаса по нагрузке, обычно принимается 0,6..0,8;
	–	коэффициент условий работы стержня.

Из этого условия можно найти величину критической сжимающей нагрузки:

. (2)

Таким образом, максимальное значение сжимающей нагрузки должно быть не больше минимального из двух найденных.

Пример решения.

Исходные данные:

Длина стержня L=7 м; диаметр кольцевого сечения D=168 мм; толщина d=2 мм; расчетное сопротивление сжатию R_y=300 МПа; коэффициент, учитывающий условия работы данного стержня g_с=1. Расчетная схема соответствует рисунку 1(3).

Решение:

1. Критическое значение сжимающей нагрузки из условия устойчивости стержня.

а) момент инерции кольцевого сечения может быть определен по формуле:

.

б) коэффициент приведения длины стержня для данного случая закрепления μ=0,7, в соответствии с рисунком 2.

в) критическое значение сжимающей нагрузки в соответствии с выражением (1):

2. Критическое значение сжимающей нагрузки из условия прочности материала.

а) площадь кольцевого сечения стержня может быть определена по формуле:

.

б) коэффициент запаса по нагрузке (ψ) примем равным ψ = 0,7.

в) критическое значение сжимающей нагрузки в соответствии с выражением (2):

3. Вывод: для обеспечения надежности конструкции величина сжимающей нагрузки не должна превышать 218 кН, поскольку при превышении данного порога материал конструкции начнет разрушаться.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: