Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ




МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

 

«МАТИ- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО»

 

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

 

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

 

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

 

 

МОСКВА 2011

 


 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета № 14 направлений подготовки бакалавров 150100.62, 160700.62, 220700.62, 230100.62.

Методические указания служат методической основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.

 

БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 

1.1. Биномиальный закон распределения появляется, если испытания проводятся по схеме Бернулли.

Пусть случайная величина Х -число появлений события А m раз в n испытаниях с одной и той же вероятностью Р(А)=р. Вероятность того, что событие А появится m раз в n испытаниях определяется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=Pn(m)= Cnm pm qn-m,

где m = 0, 1, 2,…, n; q = 1- p.

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,…, n cвероятностями P(Х=m), определенными по формуле Бернулли.

1.2. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

 

X     m n
P qn Cn1p qn-1 Cnmpmqn-m pn

 

1.3. Согласно таблице, можно записать функцию распределения биномиальной случайной величины:

F(X) = 0, хЈ 0

F(X)= 1, x>n.

1.4. Если m и n -большие числа, то вероятность Р(Х=m) можно приблизительно вычислить с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где функция а аргумент

Чем больше n, тем точнее вычисление Р(X=m). Поэтому теорему Муавра-Лапласа целесообразно применять при npq³ 20.

Для нахождения значений функции f(x) составлены специальные таблицы (например, см. приложение 1 в учебнике [1] или задачнике [2]). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции f(x):

1) Функция f(x) является четной f(-x)= f(x).

2) При х ®∞ функция f(x) ®0 (практически можно считать, что уже при х >4 функция f(x) ≈0).

1.5. Mатематическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления cобытия в одном испытании:

M(X) = np.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления p и непоявления q события в одном испытании:

D(X) = npq.

1.6. Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.

Примеры дискретных случайных величин, имеющих биномиальный закон распределения: число бракованных деталей в крупной партии, число попаданий при стрельбе, число выпадения герба при многократном подбрасывании монеты и т.п.

ПРИМЕР 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Определить математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина Х -число отказавших элементов в одном опыте - имеет следующие возможные значения:

х1 = 0 (ни один из элементов устройства не отказал);

х2 = 1 (отказал один элемент);

х3 = 2 (отказали два элемента);

х4 = 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что по условию n = 3; p =0,1 (следовательно, q = 1 -0,1 = 0,9), получим:

 

P 3(0) = q3= 0,93 = 0,729;

P 3(1) = C31 p1 q2 = 3Ч0,1Ч0,92 = 0,243;

P 3(2) = C32 p2 q1= 3Ч0,12Ч0,9 = 0,027;

P 3(3)= p 3= 0,13 = 0,001.

Напишем искомый биномиальный закон распределения Х:

 

X        
P 0,729 0,243 0,027 0,001

 

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

Математическое ожидание:

М(Х) = nЧp = 3Ч0,1= 0,3 элемента.

Дисперсия:

D(X) = npq = 3Ч0,1Ч0,9 = 0,27 (элемента)2.

 

ПРИМЕР 2. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы, и известно, что

М(Х) =1,2.

Решение. Воспользуемся формулой: М(Х) =np. По условию М(Х) =1,2; n =2. Следовательно, 1,2 = 2 p. Отсюда р = 0,6 и q =0,4.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = npq = 2Ч0,6Ч0,4 =0,48.

 

ПРИМЕР 3. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в трех опытах. Найти закон распределения (ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения) случайной величины Х. Определить ее числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду).

Решение. Дискретная случайная величина Х имеет следующие возможные значения:

х1 = 0 (событие А не появилось ни в одном из трех опытов);

х2 = 1 (событие А появилось в одном из трех опытов);

х3 = 2 (событие А появилось в двух опытах);

х4 = 3 (событие А появилось во всех трех опытах).

Соответствующие вероятности находим по формуле Бернулли (n = 3; p = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6):

 

P 3(0) = q3= 0,63 = 0,216;

P 3(1) = C31 p1 q2 = 3Ч0,4Ч0,62 = 0,432;

P 3(2) = C32 p2 q1= 3Ч0,42Ч0,6 = 0,288;

P 3(3)= p3= 0,43 = 0,064.

 

Составим ряд распределения:

 

X        
P 0,216 0,432 0,288 0,064

 

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064 = 1.

Многоугольник распределения приведен на рис. 1.

 

pi

 

0,5

 
 

 


0,25

 

 
 


0 1 2 3 xi

 

Рис. 1. Многоугольник распределения

 

На основе ряда распределения находим функцию распределения:

 

График F(x) приведен на рис. 2.

 

F(x)

 

1

0,936

 

0,648

 

 
 


0,216

 

0 1 2 3 xi

 

 

Рис. 2. График функции распределения F(x)

 

Искомое математическое ожидание определяем по формуле:

M(X) = np = 3Ч0,4 = 1,2.

Найдем дисперсию:

D(X) = npq = 3Ч0,4Ч0,6 = 0,72.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

s(Х)= = 0,85.

Мода: Мо =1.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных