Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета № 14 направлений подготовки бакалавров 150100.62, 160700.62, 220700.62, 230100.62.

Методические указания служат методической основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.

БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Биномиальный закон распределения появляется, если испытания проводятся по схеме Бернулли.

Пусть случайная величина Х -число появлений события А m раз в n испытаниях с одной и той же вероятностью Р(А)=р. Вероятность того, что событие А появится m раз в n испытаниях определяется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=P_n(m)= C_n^m p^m q^n-m,

где m = 0, 1, 2,…, n; q = 1- p.

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,…, n cвероятностями P(Х=m), определенными по формуле Бернулли.

1.2. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

X			…	m	…	n
P	qⁿ	C_n¹p q^n-1	…	C_n^mp^mq^n-m	…	pⁿ

1.3. Согласно таблице, можно записать функцию распределения биномиальной случайной величины:

F(X) = 0, хЈ 0

F(X)= 1, x>n.

1.4. Если m и n -большие числа, то вероятность Р(Х=m) можно приблизительно вычислить с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где функция а аргумент

Чем больше n, тем точнее вычисление Р(X=m). Поэтому теорему Муавра-Лапласа целесообразно применять при npq³ 20.

Для нахождения значений функции f(x) составлены специальные таблицы (например, см. приложение 1 в учебнике [1] или задачнике [2]). При использовании таблицы необходимо иметь в виду свойства функции f(x):

1) Функция f(x) является четной f(-x)= f(x).

2) При х ®∞ функция f(x) ®0 (практически можно считать, что уже при х >4 функция f(x) ≈0).

1.5. Mатематическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления cобытия в одном испытании:

M(X) = np.

Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления p и непоявления q события в одном испытании:

D(X) = npq.

1.6. Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.

Примеры дискретных случайных величин, имеющих биномиальный закон распределения: число бракованных деталей в крупной партии, число попаданий при стрельбе, число выпадения герба при многократном подбрасывании монеты и т.п.

ПРИМЕР 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Определить математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина Х -число отказавших элементов в одном опыте - имеет следующие возможные значения:

х₁ = 0 (ни один из элементов устройства не отказал);

х₂ = 1 (отказал один элемент);

х₃ = 2 (отказали два элемента);

х₄ = 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что по условию n = 3; p =0,1 (следовательно, q = 1 -0,1 = 0,9), получим:

P ₃(0) = q³= 0,9³ = 0,729;

P ₃(1) = C₃¹ p¹ q²= 3Ч0,1Ч0,9² = 0,243;

P ₃(2) = C₃² p² q¹= 3Ч0,1²Ч0,9 = 0,027;

P ₃(3)= p ³= 0,1³ = 0,001.

Напишем искомый биномиальный закон распределения Х:

X
P	0,729	0,243	0,027	0,001

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

Математическое ожидание:

М(Х) = nЧp = 3Ч0,1= 0,3 элемента.

Дисперсия:

D(X) = npq = 3Ч0,1Ч0,9 = 0,27 (элемента)².

ПРИМЕР 2. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появления события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы, и известно, что

М(Х) =1,2.

Решение. Воспользуемся формулой: М(Х) =np. По условию М(Х) =1,2; n =2. Следовательно, 1,2 = 2 p. Отсюда р = 0,6 и q =0,4.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = npq = 2Ч0,6Ч0,4 =0,48.

ПРИМЕР 3. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в трех опытах. Найти закон распределения (ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения) случайной величины Х. Определить ее числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду).

Решение. Дискретная случайная величина Х имеет следующие возможные значения:

х₁ = 0 (событие А не появилось ни в одном из трех опытов);

х₂ = 1 (событие А появилось в одном из трех опытов);

х₃ = 2 (событие А появилось в двух опытах);

х₄ = 3 (событие А появилось во всех трех опытах).

Соответствующие вероятности находим по формуле Бернулли (n = 3; p = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6):

P ₃(0) = q³= 0,6³ = 0,216;

P ₃(1) = C₃¹ p¹ q²= 3Ч0,4Ч0,6² = 0,432;

P ₃(2) = C₃² p² q¹= 3Ч0,4²Ч0,6 = 0,288;

P ₃(3)= p³= 0,4³ = 0,064.

Составим ряд распределения: