ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

2.1. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,…, n cвероятностями:

,

где P(λ) -функция Пуассона; m = 0, 1, 2,…, m, …n; λ -параметр распределения. λ=np - среднее число появления события А в n испытаниях.

Значения Р(Х=m) можно определить по таблицам распределения Пуассона в зависимости от λ и m (например, см. табл. 3 в учебнике [7]).

2.2. Ряд распределения Пуассона имеет вид:

X			…	m	…	n
P	е - l	lе - l	…		…

2.3. Согласно таблице можно записать функцию распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

F(х) = 0, хЈ 0;

;

F(х)= 1, x>n.

2.4. Mатематическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона:

M(X) = D(Х) = λ=np.

2.5. Закон распределения Пуассона может возникнуть в двух случаях:

1) При описании редких явлений, когда вероятность события А очень мала и стремится к нулю, а число опытов n велико (p →0, n →∞). В этом случае закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона и на практике применяется при условиях: n ≥10, p ≤0,1 и λ=np <10.

2) При описании событий, происходящих в определенные промежутки времени или в пространстве.

Примеры дискретных случайных величин, имеющих закон распределения Пуассона: число бракованных деталей в большой партии, число дорожно-транспорных происшествий, число пожаров, число отказов аппаратуры, число вызовов на телефонной станции за определенное время, число частиц, испускаемых радиоактивным источником за определенный промежуток времени и т.п.

ПРИМЕР 4. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Составьте ряд распределения числа поврежденных изделий.

Решение. Случайная величина Х -число поврежденных изделий -имеет распределение Пуассона с параметром λ=np= 5000∙0,0002=1<10.

Значения Р(Х=m) можно найти по таблице распределения Пуассона. Тогда ряд распределения имеет вид:

ПРИМЕР 5. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразработки 0,05. Предположим, что нефтеразработку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составьте ряд распределения числа успешных нефтеразработок. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения и постройте ее график.

Решение. Случайная величина Х -число успешных нефтеразработок -может иметь или биномиальное распределение, или распределение Пуассона с параметром λ=np= 6∙0,05=0,3<10.

Значения Р(Х=m) можно найти по таблице распределения Пуассона. Тогда ряд распределения имеет вид:

На основе ряда распределения находим функцию распределения:

График F(x) приведен на рис. 3.

Числовые характеристики:

M(X) = λ=np = 0,3 разработки;

D(Х) = λ=np = 0,3 (разработки)²;

s(Х)= = 0,5477 разработки;

Мо =0 разработок.

F(x)

1,0

0,5

0 1 2 3 4 5 6 x_i, кол-во разработок

Рис. 3. График функции распределения F(x)

ПРИМЕР 6. Среднее число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в 15-минутный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга. Составьте ряд распределения числа инкассаторов, прибывающих в банк в течение 15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения и постройте ее график.

Решение. Случайная величина Х -число инкассаторов -имеет распределение Пуассона с заданным параметром λ=np= 2 (среднее число инкассаторов, прибывающих в банк в определенный промежуток времени). Возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2,…, n.

Значения Р(Х=m) можно найти по таблице распределения Пуассона. Тогда ряд распределения имеет вид:

На основе ряда распределения находим функцию распределения:

График F(x) приведен на рис. 4.

Числовые характеристики:

M(X) = λ = 2 инкассатора;

D(Х) = λ = 2 (инкассатора)²;

s(Х)= = 1,4142 инкассатора;

Мо₁ =1 инкассатор; Мо₂ =2 инкассатора.

F(x)

1,0

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x_i, чел

Рис.4. График функции распределения F(x).

3. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3.1. Гипергеометрическое распределение представляет собой модификацию биномиального распределения для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, причем М объектов обладают определенным свойством А.

Пусть из N объектов извлекаются (без возврата) n объектов, причем m объектов обладают свойством А. Тогда случайная величина Х -число объектов, имеющих свойство А, -принимает значения: 0, 1, 2, …, m, …, n.

3.2. Для вычисления вероятностей Р(Х=m) формула Бернулли неприменима, так как отобранный объект не возвращается в исходную совокупность перед отбором следующего. Вероятность того, что m объектов имеют свойство А можно определить по формуле:

Ряд распределения имеет вид:

X			…	m	…	n
P			…		…

3.3. Согласно таблице, можно записать функцию распределения случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону:

F(х) = 0, хЈ 0;

F(х)= 1, x>n.

3.4. Mатематическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону:

3.5. Гипергеометрический закон распределения широко используется в практике статистического приемочного контроля качества продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных исследований, и в других областях.

Примеры дискретных случайных величин, имеющих гипергеометрический закон распределения: число бракованных деталей в небольшой партии; число неточных приборов в партии; число студентов, изучающих немецкий язык, в группе, изучающей два или более иностранных языка, и т.п.

ПРИМЕР 7. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: х₁ =0, х₂ =1, х₃ =2. Вероятности этих возможных значений:

Составим искомый ряд распределения:

Контроль: 1/45+16/45+28/45=1.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: