ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ПРИМЕР к задаче 3.1

Ломанный стержень расположен в горизонтальной плоскости (рис.1). Углы в местах соединения стержней прямые. Все стержни длины L.

Требуется:

1) записать аналитические выражения внутренних силовых факторов (ВСФ) по участкам, вычислить их значения в характерных точках и построить эпюры.

2) установить тип сложного сопротивления и записать значения ВСФ в опасном сечении на каждом участке.

3) на одном участке, испытывающем косой изгиб, подобрать двутавр и размеры прямоугольного сечения при соотношении сторон h / b = 2. Для двутавра и прямоугольного сечения построить нейтральные линии и указать опасные точки сечения.

4) на одном участке, испытывающем косой изгиб с кручением подобрать круглое и кольцевое сечения при соотношении радиусов R / r = D / d = a по четвертой теории прочности.

5) в пунктах 3) и 4) сравнить экономичность подобранных сечений по весу. Схема на рис.1.

Исходные данные: F = 1 кН, q = 2 кН/м, L = 2 м, [ s ] = 16 кН/см².

РЕШЕНИЕ

Рис.1 Рис.2

Примечание: Чтобы не находить реакции опор в заделке будем, в дальнейшем, рассматривать равновесие правых отсеченных частей. С каждым участком свяжем правую систему координат X_iY_iZ_i, где ось Z_i направлена вдоль оси стержня. Начало координат выбираем в т.А (рис.1). На остальных участках направление осей получается перемещением без вращения вокруг оси Z_i исходной тройки векторов по оси ломанного стержня (рис.2). За первый участок можно принять любой отрезок ломанного стержня, однако для удобства возьмем правый участок ВС, как простейший. Используя метод сечений из уравнений равновесия для правой отсеченной части получим выражения ВСФ для каждого участка (правила знаков смотри в задании 2.2). Для удобства записи аналитических выражений ВСФ примем s_i за координату произвольного сечения на i –ом участке.

Внимание. Эпюры ВСФ от отдельно взятой силы должны лежать в плоскости действия этой силы.

1. Запишем аналитические выражения для ВСФ по участкам

Первый участок (ВС) 0 £ s₁ £ L = 2 м

Вычислим значения на концах участка

При s ₁ = 0 при s ₁ = L = 2м

Второй участок (ВD)0 £ s₂ £ L = 2 м

При s ₂ = 0 при s ₂ = L = 2м

Третий участок (АВ)0 £ s₃ £ L = 2 м

При s ₃ = 0 при s ₃ = L = 2м

Построим эпюры ВСФ (рис.3).

При построении эпюр ВСФ положительные значения перерезывающих сил (Q _x, Q _y) и изгибающих моментов (M _x, M _y) откладываются вдоль положительных направлений соответствующих осей. Это соответствует правилу, что изгибающие моменты строятся со стороны растянутых волокон в плоскости действия момента. Эпюры продольных усилий N_z и крутящего момента M_z строятся в произвольной плоскости (например, в плоскости XOZ) с указанием знака.

Исходная расчетная схема Эпюра Q_x [кН]

Эпюра Q_у [кН] Эпюра M_x [кН×м]

Эпюра M_y [кН×м] Эпюра M_z [кН×м]

Рис.3

2. Соберем максимальные значения ВСФ по участкам в таблицу

На участке АВ косой изгиб с кручением, опасное сечение в точке А. Расчетное значение ВСФ:

M_x = -14 кН×м, M_y = - 4 кН×м, M_z = 2 кН×м

На участке ВС косой изгиб, опасное сечение в точке В. Расчетные значения ВСФ

M_x = -4 кН×м, M_y = - 2 кН×м

На участке ВD плоский изгиб, опасное сечение в точке С. Расчетное значение ВСФ

M_x = -2 кН×м

Примечание: Если M_x, M_y, N_z ¹0, то на участке косой изгиб с растяжением или сжатием, если M_x, M_y, M_z, N_z ¹0, то общий случай деформированного состояния.

3. На участке ВС косой изгиб. Подберем размеры прямоугольного сечения и номер двутавра. Расчетные значения:

M_x = -4 кН×м, M_y = - 2 кН×м

Поскольку | M_x | > | M_y |, то располагаем сечение вертикально.

Примечание: Если | M_x | < | M_y |, то - горизонтально. В этом случае в расчетах индексы х и у поменяются местами.

а) Подберем двутавр

Рис.4