ПРИМЕР к задаче 3.2

Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой F приложенной в точке Р. Поперечное сечение стержня изображено на рис.1.

Требуется:

1) построить нулевую линию, определить опасные точки в сечении и вычислить в них напряжения, выразив их через силу F;

2) отыскать допустимую силу [ F ], если допустимые напряжения при сжатии [s]_сж = 12 кН/см², при растяжении [s]_р = 3 кН/см².

Исходные данные b = 10 см.

РЕШЕНИЕ

Рис.1

Сечение состоит из двух фигур. Определим их геометрические характеристики.

Фигура 1 – прямоугольник b₁ x h₁.

Фигура 2 – квадрат b x b.

Введем произвольную систему координат и определим в ней координаты центров тяжести фигур:

Указание: Одну из осей координат совместить с осью симметрии. В этом случае одна из координат центра тяжести будет равна нулю.

Определим координаты центра тяжести сечения.

Находим во вспомогательной системе координат положение центра тяжести сечения (точка С) и вводим систему координат Х_сСУ_с.

Определим расстояние а ₁ между осями Х ₁, Х_с и а ₂ между Х ₂, Х_с.

Для отыскания моментов инерции относительно главных центральных осей используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

Примечание: Поскольку продольная сила F приложена не в центре тяжести поперечного сечения, то распределение нормальных напряжений не является равномерным и вычисляется по формуле

(1)

где - координата точки P приложения силы F. Положение нулевой линии (НЛ), то есть линии в поперечном сечении вдоль которой напряжение равно нулю, можно получить, приравняв нулю в формуле (1).

Определим координаты точки P приложения силы F относительно главных центральных осей: . Построим

нулевую линию по двум точкам:

При

Проводим через полученные точки нулевую линию, отыскиваем наиболее удаленные от нее точки сечения К ₁ и К ₂ (рис.1).

Примечание: Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нулевой линии.

Напряжения в точках К ₁, К ₂ определяются по формуле (1):

Примечание: Для хрупких материалов предел прочности при растяжении и сжатии существенно отличаются, поэтому для отыскания допустимой силы [ F ] необходимо выполнить условие прочности для напряжений растяжения и сжатия

(2)

Из условия прочности (2) определяем допустимую силу [ F ]. В точке К ₁ напряжения растяжения

В точке К ₂ имеют место сжимающие напряжения:

Выбираем меньшую из двух нагрузок :

Ответ [ F ] = 512 кН.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: