ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 4.2

На стальной стержень ступенчатого переменного сечения с высоты Н падает груз весом Q (рис.1). Не учитывая собственный вес стержня, определить перемещение сечения I-I после падения груза, а также наибольшее (растягивающее или сжимающее) напряжение в стержне.

Исходные данные:

A =10 см², Н =5 см,

а =4 м, b =1 м,

Q =0,4 кн, Е =2×10⁴ кН/см²

РЕШЕНИЕ

Пусть - искомое перемещение сечения I-I после падения груза Q (рис.1), - перемещение того же сечения от статически приложенной силы Q (рис.2.). Тогда

= (1)

, (2)

- определится в виде

. (3)

По формулам (3), (2) последовательно находим: = см, .

.

Наибольшие (сжимающие) напряжения определяются по формуле

= , (4)

где - наибольшие (сжимающие) напряжения в стержне от статически приложенной нагрузки Q (рис.2), равные Q / A. Подставляя в (4) числовые значения, получим: .

ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 4.3

На шарнирно опертую двутавровую балку№ 40 (рис. 1) падает груз F с высоты h.

Требуется:

1. Найти максимальное нормальное напряжение в балке и указать сечение, в котором оно возникает.

2. Определить перемещения в точке падения груза К ₁ и в точке К ₂.

РЕШЕНИЕ

Рис.1

В данном варианте задачи имеем l = 3 м, a = 0.5, b = 0.5, F = 5 кН, h = 0.10 м Для двутавра № 40 из сортамента А = 71,4 см2, Jx = 18930 см4, Wx = 947 см3.

Для нахождения напряжений, перемещений, деформаций при поперечном ударе необходимо прежде всего решит соответствующую статическую задачу (рис.2).

Рис.2

Из уравнения статики имеем =25 кН. Строим эпюры внутренних факторов: Определяем максимальное нормальное напряжение

Определение статических прогибов в точках К ₁ и К ₂ можно осуществлять различными методами. В дальнейшем используем два метода: метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки и метод перемножения эпюр (метод Верещагина).

Примечание: В контрольной работе использовать оба метода

1. Метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки EJ_xV ² = - M_x по участкам.

На втором участке l /2 £ z £ l уравнение имеет вид

а его интегралы

- уравнение упругой линии.

Так как для первого участка при z = 0 v = 0, то D = 0. Для определения постоянной интегрирования С используем второе краевое условие в точке В, которое принадлежит второму участку при z = l, v = 0

Откуда

Окончательно для второго участка имеем

Прогиб в точке приложения силы (z = l /2)

Прогиб в точке К ₂ определяется из интегрирования дифференциального уравнения упругой линии на третьем участке при l £ z £ 1.5 l

Постоянные интегрирования определены выше

Определяем прогиб в точке К ₂ при :

Определяем коэффициент динамичности при ударе по соотношению

,

где d _ст - есть статический прогиб в точке приложения груза: d _ст = V_K1 = 0.01025 см.

Все величины динамической задачи определяются через решение соответствующей статической задачи и коэффициент динамичности:

 

2. Метод Верещагина вычисления перемещений при статическом нагружении заключается в перемножении эпюр изгибающих моментов заданного нагружения и единичной силы, приложенной в той точке, в которой требуется вычислить перемещение.

	d)
а)	e)
б)
c)

Рис. 3

Так для вычисления прогиба в точке приложения силы K ₁ используем эпюры (рис. 3, а) и М_х от силы F = 1, приложенной в той же точке (рис. 3, б, с). Каждая из этих эпюр состоит из двух одинаковых участков, поэтому рассматриваем любой один участок, описываемый одним аналитическим выражением. Рассмотрим эти эпюры отдельно

 

 

Перемножение эпюр (рис. 3, а) на М_х (рис. 3, с) заключается в перемножении площади любой из этих эпюр (например, рис.3, а)

А =

на ординату второй эпюры (рис. 3, с), находящейся под центром тяжести первой эпюры .

Тогда .

Для нахождения перемещения в точке К ₂ прикладываем в этой точке силу F = 1 и строим эпюру М_х (рис. 3, d, с). В данном случае перемножаются эпюры (рис. 3, а) и эпюра М_х (рис. 3, е). Эпюра М_х имеет два участка(первый: 0 £ z £ l / 2; второй: l /2 £ z £ l). Эпюра М_х тоже имеет два участка (первый: 0 £ z £ l; второй: l £ z £ ). Перемножение эпюр осуществляется на участке 0 £ z £ l, причем с учетом того, что первая эпюра имеет два участка:

площадь участка 0 £ z £ l / 2 Þ , ордината второй эпюры ,

площадь участка l / 2 £ z £ l Þ , ордината второй эпюры .

Тогда с учетом знаков эпюр имеем

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: