Пример1. Вычислить предел функции

Решение:

подстановка предельного значения дает неопределенность вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность надо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель «х» за скобку, в знаменателе заметим, что применим формулу разность квадратов

сократим на множитель, приводящий к неопределенности, это х-15

подстановка дает

тогда

В числителе вынесем общий множитель «x» за скобки, причем заметим, что 121= , и применим формулу разность квадратов

А в знаменателе увидим формулу сокращенного умножения: квадрат первого, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго

Сократим на множитель (х-11)

Подставив предельное значение

В числителе применим формулу разность кубов , а в знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители

, тогда

сократим на и подставим , получим

в числителе разложим на множители способом группировки

А в знаменателе вынесем за скобки общий множитель «х»

А затем разложим квадратный трехчлен на множители:

сократим на и подставим

Раскрытие неопределенности вида

Теоретическая часть:

Сопряженными называются множители , причем их произведение дает формулу разность квадратов

Согласно свойств степени и корня:

Пример 1: =

Разбор решения одного варианта:

предел знаменателя дает

то имеет место неопределенность вида , которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе формулу разность квадратов

имеем:

при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает

сократив на - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение имеем

подстановка дает неопределенность вида , вызванную присутствием корня, поэтому умножаем на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе, формулу разность квадратов

Посчитав, в числителе подобные, имеем

Сократим числитель и знаменатель на множитель x-15

подставим , тогда

подстановка предельного значения дает неопределенность вида , умножаем числитель и знаменатель на сопряженный множитель к знаменателю

в знаменателе формула разность квадратов

вынесем в числителе общий множитель «х» за скобку, а в знаменателе вычислим

сократим на и подставим имеем

умножаем на сопряженный к числителю, а затем в числителе применяем формулу разность квадратов :

в числителе квадратный трехчлен, разложим на множители по формуле:

, где

сократим на и подставим

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: