Введение в топологию

Введение

Топология, как наука, сформировалась, по общему мнению, в трудах французского математика Анри Пуанкаре в конце 19 века. Первые наблюдения топологического характера восходят к Л.Эйлеру и К.Гауссу. В середине 19 века в исследованиях Б.Римана по теории функций были развиты новые методы, основывающиеся на геометрических представлениях. Он предпринял попытку сформулировать понятие многомерного многообразия и ввести высшие порядки связности. Эти понятия были уточнены Э.Бетти (1871). Но только А.Пуанкаре, исходя из потребностей теории функций и дифференциальных уравнений, ввел целый ряд важных топологических понятий. Развил содержательную теорию, применил ее к исследованиям в различных разделах математики и механики. Его идеи и поставленные им проблемы до сих пор существенно влияют на развитие топологии и ее приложений.

А.Пуанкаре так определял содержание топологии: «… наука, которая позволяет нам узнавать качественные свойства геометрических фигур не только в обычном пространстве, но также и в пространстве более трех измерений…» Чтобы разобраться, что понимается под качественными свойствами геометрических фигур, представьте себе сферу в виде резиновой оболочки, которую можно сжимать и растягивать любым способом без разрыва и «склеивания» (т.е. отождествления разных точек в одну). Такие преобразования сферы называются гомеоморфизмами, а различные фигуры, получающиеся при гомеоморфизмах - гомеоморфными между собой. Качественные свойства сферы – это свойства, общие у всех гомеоморфных ей фигур. Такие свойства называют топологическими. К ним относят «целостность» или связность, ориентируемость и другие.

Топология – раздел математики, имеющий своим значением выяснение и исследование в рамках математики идеи непрерывности. Интуитивно идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени и имеет фундаментальное значение для познания. Поэтому топология, в которой понятие непрерывности получает математическое воплощение, естественно вплетается почти во все разделы математики. В соединении с алгеброй топология составляет общую основу современной математики и содействует ее единству.

Предметом топологии является исследование фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Следовательно, топологию можно квалифицировать как разновидность геометрии. Важной ее чертой является необычайная широта класса геометрических объектов, попадающих в сферу действия ее законов. Понятие гомеоморфизма и лежащее в его основе понятие непрерывного отображения предполагают только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном, вообще говоря, от простого отношения принадлежности.

К настоящему времени топология стала мощным инструментом математического исследования, а ее язык приобрел универсальное значение.

Замечательным фактом является возникновение в 70-80-е годы 20 века комплекса приложений топологии в современной физике. «В ряде случаев без топологических понятий оказалось невозможным понять суть реальных физических явлений… Топология нашла себе ряд блестящих применений в самых разнообразных задачах для описания качественных, устойчивых свойств различных математических и физических объектов» (Академик С.П. Новиков). Существует и обратная связь. По мнению С.П. Новикова, за последнее время наиболее важные идеи пришли в топологию из внешнего мира.

Изучаемый нами курс топологии может быть разбит на два раздела, которые каждый состоят из нескольких тем.

Раздел 1

Введение в топологию

Тема 1. Элементы общей топологии.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: