Некоторые свойства топологических пространств

Аксиомы счетности.

Определение. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его топология обладает счетной базой.

Пример. Пространство Rⁿ удовлетворяет второй аксиоме счетности.

Теорема Линделефа. Если топологическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то в произвольном его открытом покрытии {U_a} содержится не более чем счетное подпокрытие.

Определение. Семейство B={V(x)} окрестностей точки x называется базой системы окрестностей точки x, если в каждой окрестности точки x содержится некоторая окрестность из этого семейства.

Система всех окрестностей точки, очевидно, является базой системы окрестностей этой точки.

Определение. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей любой его точки обладает счетной базой.

Примеры: 1. Любое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.

2. Пространство C _{[ 0;1 ]} непрерывных на отрезке [ 0;1 ] функций удовлетворяет как первой, так и второй аксиомам счетности.

Замечание. Выполнение второй аксиомы счетности является более сильным (жестким) условием, накладываемым на топологическое пространство, по сравнению с первой аксиомой счетности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: