Решение игры в смешанных стратегиях геометрическим методом

Пусть игра задана платежной матрицей . По оси абсцисс отложим единичный отрезок А₁ А₂, где точка А₁ (0, 0) изображает стратегию А₁, А₂ (1, 0) – стратегию А₂, а каждая промежуточная точка S_A этого отрезка изображает смешанную стратегию первого игрока P_A = (p₁, p₂), где p₁– расстояние от точки S_A до A₂, p₂–расстояние от точки S_A до A₁. Выигрыш игрока A будем откладывать на вертикальных отрезках.

Случай 1. Если игрок B применит стратегию В₁, то выигрыш игрока A при стратегии А₁ равен а₁₁, поэтому на оси ординат отложим отрезок А₁В₁ = а₁₁. При применении игроком A стратегии А₂ выигрыш равен а₂₁, отложим этот отрезок на перпендикуляре из точки А₂, обозначим полученную точку В₁'. Ордината любой точки М₁ отрезка В₁В₁^′ равна среднему выигрышу игрока A при применении смешанной стратегии S_A (действительно, этот выигрыш равен математическому ожиданию случайной величины, т.е. a₁₁p₁ + a₂₁p₂). Запишем уравнение прямой В₁В₁^′:
, т. е. ,
тогда при x = p₂ получим
y = a₁₁ + p₂a₂₁ – p₂a₁₁ = a₁₁(1-p₂) + p₂a₂₁ = a₁₁p₁ + a₂₁p₂
Случай 2. Если игрок B применяет стратегию В₂, то аналогично откладываем отрезки а₁₂ и а₂₂ и получаем отрезок В₂В₂^′. Ордината любой точки М₂ отрезка В₂В₂^′ – выигрыш игрока A, если A применяет смешанную стратегию S_A, а B – стратегию В₂.
Построим нижнюю границу выигрыша игрока А – ломаную В₁ NВ₂^′. Ординаты точек этой ломаной показывают минимальные выигрыши игрока А при использовании им любой смешанной стратегии. Оптимальное решение игры определяет точка N, в которой выигрыш игрока А принимает наибольшее значение. Ордината точки N равна цене игры. Проекция этой точки на ось ОХ показывает оптимальную стратегию (р₁, р₂).
Аналогично находится оптимальная стратегия Q = (q₁, q₂) игрока B, только в соответствии с принципом минимакса надо находить верхнюю границу выигрыша, т. е. строить ломаную А₂NА₁^′ и брать точку N с наименьшей ординатой.
Абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию игрока B, т. е. Q = (q₁, q₂).

Пример. Решить игру, заданную платежной матрицей , графоаналитическим способом.
Решение. Нижняя цена игры a = 1,5, верхняя цена игры b = 2. Так как , седловой точки нет. Так как a₁ = 1,5, a₂₁ = 2 строим точки B₁(0;1,5) и B₂(1;2), соединяем их отрезком. Так как a₂₁ = 3, a₂₂ = 1 строим точки B₂(0;3) и B₂’(1;1), соединяем их отрезком.

Уравнение прямой В₁В₁ ^′:
, т. е. y = 0,5x + 1,5;
уравнение В₂В₂ ^′: , т. е. y = 3-2x.
Найдем точку N пересечения прямых В₁В₁ ^′ и В₂В₂ ^′, для чего решим систему уравнений:

т. е. N (0,6; 1,8), откуда p₂= 0,6; p₁= 0,4; γ = 1,8 – цена игры.
Аналогично строим точки А₁ (0; 1,5) и А₁^′ (1;3), А₂ (0; 2) и А₂^′ (1; 1) и находим точку M пересечения прямых А₁А₁ ^′ и А₂А₂ ^′.

Ответ: смешанная стратегия игрока А: P_A= (0,4; 0,6), игрока В: Q_B = (0,8; 0,2); цена игры 1,8.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: