Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Метод Гаусса решения СЛАУр




Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)

 

 

Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.

На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.

Пусть дана матрица системы .

Рассмотрим расширенную матрицу системы

.

 

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:

или .

Замечание

Если и , где n – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же , то система несовместна.

Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.

 

1. Выписывают расширенную матрицу системы

и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.

2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:

­– система совместна и определенна,

– система совместна и неопределенна,

– система несовместна.

Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:

 

1) С ~ , ,

следовательно, система определенна, имеет единственное решение,

 

2) С ~ ,

следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,

 

3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).

 

3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).

 

Пример 3.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .

 

~ ~

~ ,

 

Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.

Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:

Þ .

 

Таким образом, .

 

Пример 4.

Исследовать и решить СЛАУр: .

 

Решение

~ ~

Так как ,следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).

Последней матрице соответствует система:

Þ

где и – произвольные параметры.

 

Пример 5.

Исследовать и решить СЛАУр:

Решение

 

~ ~

Так как , то система несовместна (решений нет).

 

Пример 6.

Исследовать и решить СЛАУр: .

Решение

 

 

Таким образом, .

Тема № 2

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных