Свободные оси и главные оси инерции тела

Для того, чтобы сохранить фиксированное положение в пространстве оси вращения твердого тела, ее механически закрепляют, используя обычно подшипники, т.е. на воздействуют внешними силами. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называются свободными осями. Можно доказать, что у любого тела имеются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые являются свободными. Эти оси называются также главными осями инерции тела.

Гироскопы

В настоящее время гироскопами называют очень широкий класс приборов в которых используются более ста различных явлений и физических принципов. В данной лабораторной работе изучается классический гироскоп, в дальнейшем просто гироскоп.

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Эту ось мы будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции (свободной осью). Момент импульса гироскопа в таком случае направлен вдоль оси и равен L =J w.

При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается явление, называемое гироскопическим эффектом. Суть эффекта: под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О₂О₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд (О₁О₁, О₂О₂ лежат в плоскости рисунка, а О₃О₃ и силы F перпендикулярна к ней).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент M пары сил F направлен вдоль прямой О₂О₂ ,т.к. M=[r,F], r-радиус-вектор из центра масс гироскопа в точку приложения силы. За время dt момент импульса гироскопа L получит приращение d L = M *dt (в соответствии с основным законом вращательного движения), и направленное в том же направлении, что и M и станет равным L’ = L +d L. Направление L’ совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃ на некоторый угол df=|dL|/L=M*dt/L, с угловой скоростью

Угловая скорость поворота оси гироскопа w' называется угловой скоростью прецессии, а такое движение гироскопа прецессией.

Из () следует

Векторы M, L, w’ взаимно перпендикулярны, поэтому можно записать

Эта формула получена, когда Векторы M, L, w’ взаимно перпендикулярны, однако можно доказать, что справедлива в общей случае.

Отметим, что данные рассуждения и вывод формул справедлив в том случае когда угловая скорость вращения гироскопа w>>w’.

Из формул () следует, что скорость прецессии w’ прямо пропорциональна M и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа L. Если время действия силы мало, момент импульса L достаточно велик, то скорость прецессии w’ будет мала. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течении длительного времени.

Описанные выше свойства гироскопа нашли себе разнообразные практические применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном оружие. После вылета из ствола орудия на снаряд действует сила сопротивления воздуха, момент которой может опрокинуть снаряд и изменить его ориентацию относительно траектории беспорядочным образом, что отрицательно влияет на дальность полета и точность попадания в цель. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг его оси. Снаряд превращается в гироскоп и внешний момент силы сопротивления воздуха вызывает лишь прецессию его оси вокруг направления касательной к траектории снаряда. При этом сохраняется определенная ориентация снаряда в пространстве.

Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические приборы: гирогоризонт, гирокомпас и т.д. Уравновешенные гироскопы также применяются для поддержания заданного направления движения самолета (автопилот). Для этого крепление гироскопа осуществляют на карданной подвеске, которая уменьшает действие внешних моментов сил, возникающих при маневре самолета. Благодаря этому ось гироскопа сохраняет свое направление в пространстве независимо от движения самолета. При отклонении направления движения самолета от направления, заданного осью гироскопа, возникают автоматические команды, возвращающие к заданному направлению.

Описанное поведение гироскопа также положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Если ось гироскопа не совпадает с направлением меридиана то, благодаря вращению Земли возникает сила стремящаяся повернуть ось в направлении перпендикулярном горизонту. Однако, благодаря гироскопическому эффекту она поворачивается в горизонтальном направлении до тех пор пока не установится направление совпадающее с меридианом, указывающее точно на север. Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания не надо вносить поправки на так называемое магнитное склонение, а также не надо принимать мер для компенсации воздействия магнитных наводок т корпуса и оборудования судна.

В данной работе предлагается экспериментально проверить справедливость соотношения (), из которого следует, что угловая скорость прецессии прямо пропорциональна внешнему моменту сил и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: