Абсолютная величина и направление вектора

Векторы.

Вектором мы будет называть направленный отрезок.

Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться срочными латинскими буквами a, b, c, …. Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова ‘‘вектор’’ над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта.

Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены. Векторы и называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены. Векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора обозначается .

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается . О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает,что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть и одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине. Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A,совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены.

А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т. е. параллельный перенос переводит вектор в вектор . Значит, векторы и равны,что и требовалось доказать.

Координаты вектора

Пусть вектор имеет началом точку ,а концов ─ точку . Координатами вектора будем зазывать числа , .

Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае () или просто ( Координаты нулевого вектора равны нулю.

Из формулы выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами равна

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Действительно, пусть , и начало и конец вектора .Так как равный ему вектор получает их вектора параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно , .

Отсюда видно, что оба вектора имеют одни и те же координаты: .

Сложение векторов.

Суммой вектором с координатами и называется вектор с координатами _, т. е.

Для любых векторов , ,

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равным координатам равны.

Теорема. Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство

Доказательство. Пусть данные точки. Вектор имеет координаты ,вектор имеет координаты .Следовательно, вектор имеет координаты .А это есть координаты вектора .

Значит, векторы и равны. Теорема доказана.

Теорема дает следующий способ построения суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор , равны вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец ─ с концом вектора , будет суммой векторов и . Такой способ получения суммы двух векторов называется <<правилом треугольника >> сложения векторов.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (<<правило параллелограмма >>).

Действительно , а . Значит .

Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : . Отсюда находим координаты вектора :

.

5.Умножение вектора на число

Произведем вектора ) на число называется вектором ), т. е. ) ).

Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора и чисел ,

Для любых двух векторов и и числа

Теорема. Абсолютна величина вектора равна . Направление вектора при совпадает с направлением вектора ,если и противоположно направлению вектора , если .

Абсолютная величина вектора равна:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: