Основные свойства функций выбора

Ниже будут описаны некоторые свойства, которыми могут обладать функции выбора. Считается, что функции, обладающие теми или иными комбинациями этих свойств, моделируют так называемый рациональный выбор. Будем говорить, что функция выбора C удовлетворяет условию наследования (или обратному условию Сена), если

Y∩C(X) ⊂ C(Y)

для любого X и любого Y⊂X.

В соответствии с определением выбор удовлетворяет условию наследования, если варианты, выбираемые из более широкого множества (при больших возможностях для сравнения и выбора), тем более будут выбраны и в более узком.

Будем говорить, что функция выбора C удовлетворяет условию согласия (или прямому условию Сена), если

C(X∪Y) ⊃ C(X) ∩C(Y)

для любых X и Y. Потребительский выбор, удовлетворяющий условию согласия, можно описать так: если два ассортимента содержат общие товары, выбираемые потребителем из каждого из этих ассортиментов, то они будут выбраны и при предъявлении ему объединенного ассортимента. Заметим, что условие согласия можно формулировать не для двух, а для любого конечного числа множеств. Если функция выбора удовлетворяет условию согласия, то, например, для трех множеств X,Y,Z имеем

C(X∪Y∪Z) ⊃ C(X∪Y) ∩C(Z) ⊃ C(X) ∩C(Y) ∩C(Z).

Будем говорить, что функция выбора C независима от отвергнутых вариантов, если

C(X\Y) = C(X)

в случае, когда Y⊂X\C(X).

Выбор независим от отвергнутых вариантов, если отбрасывание некоторых (или всех) вариантов, не выбранных из исходного предъявления, не меняет выбора.

Следующая теорема описывает свойства функций выбора в терминах их логических представлений.

Теорема. Пусть набор булевых функций f=(f₁,f₂,…,f_n) служит логическим представлением функции выбора C.

1) Функция C удовлетворяет условию наследования тогда и только тогда, когда отображение f:{0,1}ⁿ→{0,1}ⁿ антимонотонно:

ξ≤η⇒ f(ξ)≥ f(η)

2) Функция C удовлетворяет условию согласия тогда и только тогда, когда

f(ξ)∧f(η)≤f(ξ∨η)

для любых ξ,η∈{0,1}ⁿ.

3) Функция C независима от отвергнутых альтернатив тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

η∧f(η) ≤ ξ ≤ η ⇒ η∧f(η) = ξ∧f(ξ).

􀀀

Мы не приводим доказательства, которое получается простой переформулировкой определений.

Теорема Сена. Функция выбора нормальна тогда и только тогда, когда одновременно удовлетворяет условиям наследования и согласия.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что функция выбора C нормальна, то есть имеет вид C=C^R для некоторого бинарного отношения R на множестве альтернатив Ω:

C(X) = { x∈X | ∀y∈X (yRx)}.

Покажем, что функция C удовлетворяет условию наследования. Пусть Y⊂X. Возьмем произвольный элемент x∈Y∩C(X). Так как x∈C(X), то yRx не выполняется ни для одного y∈X и, значит, тем более ни для одного y∈Y. Но тогда x∈C(Y). Следовательно, Y∩C(X)⊂C(Y).

Покажем теперь, что функция C удовлетворяет условию согласия. Возьмем произвольный элемент x∈C(X) ∩C(Y). Тогда yRx не выполняется ни для одного y∈X и ни для одного y∈Y. Значит, yRx не выполняется ни для одного y∈X∪Y и потому x∈C(X∪Y). Следовательно, C(X) ∩C(Y)⊂C(X∪Y).

Достаточность. Предположим теперь, что функция C удовлетворяет условиям наследования и согласия. Определим бинарное отношение R на множестве альтернатив условием

xRy ⇔ y∉C({x,y}).

Тогда

C^R(X)={x∈X | ∀y∈X (yRx)} = {x∈X | ∀y∈X x∈C({x,y})}.

Последнее равенство можно переписать так:

x∈ C^R(X) ⇔ x∈X ∩ (∩_y∈X C({x,y})).

В силу условия согласия при x∈X получаем

∩_y∈X C({x,y})⊂С(∪ _y∈X{x,y})=C(X).

Но тогда C^R(X)⊂C(X). Докажем обратное включение. Пусть x∈C(X). Тогда для любого y∈X, в силу условия наследования, имеем

x∈{x,y}∩C(X) ⊂C({x,y}),

то есть x∈ C^R(X).􀀀

Приведем без доказательства еще одну теорему.

Теорема. Функция выбора C на множестве вариантов Ω является выбором по Парето относительно некоторого векторного критерия тогда и только тогда, когда функция C удовлетворяет условиям наследования и согласия, независима от отвергнутых вариантов и дает непустой выбор для непустых предъявлений.􀀀

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: