ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Формула Бине и некоторые ее применения
Напомним (см. 11.3, формула (5)), что производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи имеет вид
F (z) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 + … = z. 1 − z − z 2
Корнями характеристического многочлена
k (z) = z 2 – z –1
являются числа
б 1 5
и в 1− 5.
Число Фибоначчи как функция своего номера
представляется в виде:
или
Fn = б n − в n 5
, (4)
n 1 5 n 1− 5 − 2 2 Fn , 5
Формула (4) называется формулой Бине.
Так как 2 = + 1, то любую степень числа можно представить в виде целочисленной комбинации a + b. Оказывается, коэффициентами служат числа Фибоначчи: k +2 = Fk +2 + Fk +1.
Формула Бине позволяет убедиться в этом прямой проверкой.
Приведем несколько оценок чисел Фибоначчи.
Число Фибоначчи Fn есть ближайшее целое к чи слу.
Следовательно,
б n − в n б n − 5 5
5 2
Из (4) вытекает также следующее свойство.
С ростом n числа Фибоначчи неограниченно сближаются с
членами геометрической прогрессии с начальным членом 1 и
знаменателем 5 1: 2
n lim F − б 0.
Отношение соседних чисел Фибоначчи (следующего к
Действительно, 2 ≈ 0,618. 5 1
Fn б n − в n 1− (в / б). Fn 1 б n 1 −в n 1 б − в(в / б) n
Так как / < 1, то (/) n с ростом n стремится к нулю.
Следовательно,
lim Fn 1
≈ 0,618. n →∞ Fn 1 б
Из предыдущего равенства следует, что
lim Fn 1
≈ 0,382. n →∞ Fn 2 б 2
Установим справедливость формулы, которая дает представление чисел Фибоначчи в виде суммы биномиальных коэффициентов, и как ее следствие получим одно тождество для биномиальных коэффициентов.
При любом n справедливо следующее равенство:
Fn 1 ∑ C k − k. (6)
Заметим сначала, что при четном n равенство (6) имеет вид
0 1 n / 2
а при нечетном – Fn 1 Cn Cn −1 ... Cn / 2,
0 1 (n −1) / 2
Например: Fn 1 Cn Cn −1 ... C (n 1) / 2.
0 1 2 0 1 2 F 5 C 4 C 3 C 2; F 6 C 5 C 4 C 3.
Для доказательства (6) воспользуемся производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи: z F (z) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 +… =
1− z − z 2 . (7)
Используя формулу для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем правую часть равенства (7):
z 1− z − z 2
z ⋅ 1− (z z 2)
= z (1 + (z + z 2) + (z + z 2)2 +…) =
низких, чем n + 1. Так как
z p 1 ∑ C k z k k ≤ p ∑ C k zk p 1, k ≤ p
то коэффициент при zn +1 получается суммированием по p всех
C k, что k + p +1 = n + 1 и k ≤ p.
Последние условия означают, что p = n – k и 2 k ≤ n. Таким
C k k, 2 k ≤ n, и
получаем сумму, стоящую в правой части (6), что и доказывает это равенство. С учетом формулы Бине равенство (7) может быть записано
следующим образом:
1 1 n 1 5
1 − n 1 5
− .
Золотое сечение
Разделим отрезок AB на части так, чтобы большая часть была бы средним пропорциональным между всем отрезком и
меньшей его частью. Иными словами, мы ищем точку C такую,
что AC: BC = BC: AB (рис. 1).
A C D B
Рис. 1
Пусть BC = x ⋅ AB. Тогда AC = x ⋅ BC = x 2⋅ AB. Так как
AC + BC = AB, то
x 2 + x = 1. (9)
Уравнение (9) имеет два решения:
− 1 5 ≈ 0,618 и −1− 2 5 ≈ −1,618.
Точка C соответствует положительному решению
x −1 5.
Разбиение отрезка AB на две части точкой C называют
золотым сечением этого отрезка.
Точно так же можно получить золотое сечение отрезка AB
точкой D такой, что BD: AD = AD: AB.
Оказывается, точка D дает золотое сечение отрезка BC.
Действительно:
BC = x ⋅ AB, AD = x ⋅ AB, BD = (1 – x)⋅ AB,
и, значит, CD = BC – BD = (2 x – 1)⋅ AB. Таким образом,
CD 2 x −1; BD 1− x. BD 1 − x BC x
Так как x служит корнем уравнения x 2 + x – 1 = 0, то, как
легко проверить, 2 x −1 1− x. Следовательно, 1 − x
−1 5 x
CD BD
BD. BC Заметим, что x 2 – это предел, к которому стремится
отношение соседних чисел Фибоначчи Fn / Fn +1. Приближение золотого сечения, изображенного на рис. 1, можно получить, взяв точки C ′ и D ′ такие, что
AC ′ 1− F
Fn 2 Fn Fn 2
AB; AD ′ F n 1 Fn 2
AB.
К «золотому» пределу −1 5 1, где б б 1 5 , отношение
un / un +1 стремится для любой последовательности с положительными членами, удовлетворяющей рекуррентному соотношению un +2 = un +1 + un. В самом деле, члены любой такой последовательности имеют вид un = a n + b n,
где б 1 5 и в 1− 5 – корни характеристического уравнения
x 2 – x – 1 = 0. Поскольку все члены последовательности (un)
положительны, a ≠ 0. Так как || 1, то () n →0 при n →∝.
Следовательно,
б n в n 1 b в n un a b
a б
un 1 a б n 1 b в n 1 б b в n в б a б
Таким образом, аппроксимировать золотое сечение можно с помощью любой положительной последовательности (un), члены которой удовлетворяют рекуррентному соотношению un +2 = un +1 + un. Золотое сечение используется в техническом анализе при
торговли ценными бумагами на инвестиционных рынках. Центральную роль в так называемом анализе Фибоначчи играют Фиб-узлы (или уровни Ди Наполи). На ценовой волне берутся две крайние точки A и B и отрезок AB делится точками C и D (рис. 2) подобно тому, как это сделано на рис. 1. Полученные точки называются Фиб-узлами. Считается, что в этих точках происходит значительное сопротивление изменению цен при обратном движении.
B
D (F 3) 0.618
C (F 5) 0.382
A
Рис. 2 В качестве Фиб-узлов используются также близкие к ним точки – F 3 и F 5 – Фиб-узлы, расположенные на уровнях 3/8 и 5/8:
F 3 A F 4 B − A ; F 6
F 5 A F 5 B − A . F 6
Некоторое теоретическое объяснение эмпирически обоснованному выбору Фиб-узлов дается в следующем параграфе.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|