Поиск экстремума симплекс -методом

⇐ Предыдущая 1 23

Начальную точку с координатами x (0) = (5; 6) берем за центр тяжести тре- угольника. Вокруг начальной точки строим треугольник -симплекс. Координа- ты вершин исходного симплекса рассчитываются по формулам:

x (1) = (x (0)

x (2) = (x (0)

x (3) = (x (0)

- a /2; x (0)

+ a /2; x (0)

; x (0)

- 0,29· a);

+0,58· a), где a - длина ребра симплекса,

которую выбираем произвольно. Пусть a =2, тогда координаты вершин исходного симплекса и соответствующее им значение целевой функции будут

равны:

№ точки	x 1	x 2	y
x(1) x(2) x(3)		5,42 5,42 7,16	108,27 149,95 185,81

Из трех значений функции выбирается "наихудшая" точка: при поиске

минимума эта та точка, в которой функция принимает максимальное значение.

В нашем случае это точка с координатами x (3) = (5; 7,16).

Через центр противолежащей грани строится новая вершина симплекса,

симметричная "наихудшей" вершине.

Координаты новой вершины рассчитываем по формулам:

(4)

= x (1)

+ x (2)

- x (3)

; x (4)

= x (1)

+ x (2)

- x (3).

В результате получился новый симплекс с вершинами:

№ точки	x 1	x 2	y
x(1) x(2) x(4)		5,42 5,42 3,68	108,27 149,95 82,52

Теперь " наихудшей" точкой будет вершина симплекса с координатами

x (2) = (6; 5,42). Дальнейшие расчеты приведены в таблице.

№ точки	x1	x2	y
x(1) x(5) x(4) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)		5,42 3,68 3,68 1,94 1,94 0,2 0,2 -1,54 -1,54	108,27 51,8 82,52 36,16 16,41 10,88 2,08 6,66 8,82

№ точки	x 1	x 2	y
x(9) x(10) x(11)		0,2 -1,54 -1,54	2,08 6,66 8,82

Координаты последнего симплекса приведены в таблице:

Таким образом, вершина x (8) отображенная в x (11) вновь оказалась "наихудшей". Этот случай называется процедурой

"зацикливания". Проверяем условие окончания алгоритма, сравнивая длину

ребра симплекса с заданной точностью

(5 −1)2 + (−3,28−3,68)2 = 2

> 0,2.

Для продолжения поиска необходимо произвести редукцию последнего симплекса.

№ точки	x 1	x 2	y
x(9) x(12) x(13)	1,5 0,5	0,2 -0,67 -0,67	2,08 3,48 2,82

Выбирается вершина, в которой функция принимает минимальное значе- ние x (9) = (1; 0,2). Две другие вершины будут расположены на серединах приле- жащих к ней граней.

Таким образом, получился новый симплекс с длиной ребра, равной 1, и координатами

вершин:

№ точки	x 1	x 2	y
x(22) x(23) x(24) x(25) x(26) x(27)	-0,50 -0,375 -0,625 -0,75 -0,875 -0,75	0,635 0,8525 0,8525 0,635 0,8525 1,07	0,15 0,25 0,074 0,146 0,022 0.1073
зацикливание, уменьшаем ребро до 0,125
x(26) x(28) x(29) x(30) x(31)	-0,875 -0,75 -0,8125 -0,9375 -1	0,8525 0,8525 0,9612 0,9612 0,8525	0,022 0,032 0,024 0,0021 0,0435

Дальнейшие расчеты приведены в таблице:

№ точки	x 1	x 2	y
x(14) x(15)	0,5	0,2 1,07	0,68 2,46
зацикливание, уменьшаем ребро до 0,5
x(14) x(16) x(17) x(18) x(19)	0,5 0,25 -0,25 -0,5	0,2 0,2 0,635 0,635 0,2	0,68 1,13 0,92 0,28 0,73
зацикливание, уменьшаем ребро до 0,25
x(18) x(20) x(21)	-0,25 -0,375 -0,125	0,635 0,4175 0,4175	0,28 0,34 0,42