Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

Квадратичная форма L (x ₁, x ₂, …, x_n) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

L (x ₁, x ₂, …, x_n) > 0 (L (x ₁, x ₂, …, x_n) < 0).

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = X ' AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ _i матрицы A были положительны (отрицательны).

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. D₁ > 0, D₂ > 0, …, D _n > 0, где

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: