ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Умозаключения и их виды. В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.
Умозаключение состоит из посылок и заключения.
Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.
Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.
Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.
Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 -двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».
Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна посылка общего характера - это высказывание «любое Двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 – оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем Речь идет о конкретном числе 23.
Пример2: Один из промеров ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем.
Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6×3 = 3×6, 5×2 = 2×5, 3×7 = 7×3. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство а×b=b×а.
В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Пример 3. При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4×3 = 12. Значит 12:4 = 3.
Затем учащимся предлагается, рассуждая так же, найти, например, частное 8:4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод -8:4 = 2.
Далее, используя тот же способ рассуждений, находят частные 9:3, 20:5 и др.
Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.
Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А1,
А2,..., Аn, а заключение - буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2,..., Аn, => В. Часто используют такую запись 
. В ней черта заменяет слово «следовательно».
Дедуктивным является умозаключение, которое рассмотрено в примере 1.
Более подробно такие умозаключения мы рассмотрим позже, в пункте 26, а пока заметим, что в дедуктивном умозаключении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.
Умозаключение, которое рассмотрено в примере 2, отлично от первого. В нем приведены три посылки частного характера, которые показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральны числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.
Определение. Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.
Рассмотрим, например, такие выражения: 3 + 5 и 3×5; 2 + 7 и 2×7; 4 + 8 и 4×8. Видим, что 3 + 5 < 3×5, 2 + 7 < 2×7,4 + 8 < 4×8, т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. И на основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, можно сделать вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа, т.е. ("а, bÎ N) а + b<а×b.
Но это утверждение ложно, в чем можно убедиться с помощью контрпримера: числа 1 и 2 - натуральные, но сумма 1 + 2 не меньше, чем произведение 1 × 2.
Вообще к выводам, полученным с помощью неполной индукции, надо относиться критически, так как они носят характер предположения, гипотезы и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.
Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Многие общие положения и, в частности, научные законы были открыты с помощью умозаключений, называемых неполной индукцией.
Третий пример - это пример рассуждения по аналогии.
Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».
Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.
Заметим, что в этом описании сути понятия «аналогия» термин «объект» используется в широком смысле: им может быть реальный предмет, модель, рисунок, числовое или буквенное выражение, задача и т.д. В качестве признаков могут выступать свойства объектов, отношения между ними, способы деятельности и т.д.
Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.
Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.
Например, ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делиться на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров.
Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. Например, если при изучении классов установлено что в классе единиц три разряда - единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда - единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.
Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами. Например, учащиеся установили, что 4×(3+7) > 4×3 + 4×6, так как 4×(3+7) = 4×3 + 4×7,
а 4×7 > 4×6. Рассматривая затем выражения 3×(8 + 9) и 3×8 + 3×7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3(8 + 9) > 3×8 + 3×7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.
Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27×3 = (20 + 7)×3 = 20×3 + 7×3 = 81) детям предлагается умножить 721 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712×4 = (700 + 10 + 2)×4 = 2800 + 40 + 8 = =2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.
Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.
Упражнения
1. Объясните, почему приведенные ниже высказывания считают истинными:
а)7>5; в) (4 + 6):2 = 4:2 + 6:2;
б)7 + 3>7+1; г)(6×4):2 = (6:2)×4.
Сформулируйте правила, которыми вы воспользовались. Содержат ли они квантор общности?
2. Известно, что если в треугольнике углы при основании равны, то он - равнобедренный. Следует ли из этого, что:
а) треугольник с двумя углами по 40° - равнобедренный;
б) треугольник с двумя сторонами по 4 см - равнобедренный?
3. Даны два утверждения: А(х) - «число х четное» и В(х) - «запись числа х оканчивается цифрой 4». Находятся ли они в отношении следования?
4. Известно, что запись числа оканчивается цифрой 8. Следует ли из этого что данное число делится на:
а)2, б)4?
5. В четырехугольнике АВСБ диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Верно ли, что АВСD
а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник?
6. В четырехугольнике АВСБ все стороны равны. Достаточно ли того для того, чтобы утверждать, что АВСБ:
а) квадрат; б) ромб?
7. В четырехугольнике АВСИ два угла прямые. Достаточно ли того для того, чтобы утверждать, что АВСИ - прямоугольник?
8. Выскажите предположение, рассмотрев несколько частных случаев:
а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
б) Имеются два числа, ни одно из которых не делится на 3. Может ли (и при каком условии) сумма этих чисел разделиться на 3?
в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4?
9. Около вершин треугольника поставьте какие-нибудь числа. Возле каждой стороны - число, равное сумме чисел, стоящих у прилегающих к ней вершин. Что можно сказать о суммах, образованных числом, стоящим около стороны, и числом, стоящим около противолежащей ей вершины?
Надо ли доказывать сделанный вами вывод?
10. Сравните значение выражений (а + 6)(7 - а) и а (а - 1) при а = -3, 0, 2. Верно ли, что при любом целом а значение первого выражения больше, чем второго?
11. Даны верные равенства: 74 - 47 = 27; 52 - 25 = 27; 63 - 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?
12. Зная, что равенство 
верно для любых натуральных чисел a,b и c,
ученик решил, что верным будет и равенство: 
для любых натуральных чисел a,b и c.
Прав ли он?
13. Выяснив, что (12+4):2 = 12:2+4:2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12×4):2, и записал(12×4):2=(12:2)×(12:4). Прав ли он?
14. Известно, что если число делиться на 6, то оно делится на 2 и на 3. Верны ли следующие высказывания, сформулированные по аналогии с данными:
а) Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.
б) Если число делится на 12, то оно делится на 2 и на 6.
в) Если число делится на 14, то оно делится на 2 и на 7.
15. Учителю необходимо подвести учащихся к выводу о том «при сложении числа с нулем получается то число, которое складе вали с нулем». Какой метод рассуждений вы выберете?
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: