Равносильности между предложениями

Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.

Как связаны между собой эти два предложения?

Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что х кратно 2. Это мы можем утверждать, потому что знаем - при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.

Определение. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А(х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинна.

Если А и В - высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.

Для обозначения отношения логического следования используется знак =>. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) => В(х), прочитать которое можно по разному:

1) Из А(х) следует В(х).

2) Всякое А(х) есть В(х).

3) Если Л (х), то В(х).

4) В(х) есть следствие А(х).

5) А(х) есть достаточное условие для В(х).

6) В(х) есть необходимое условие для А(х).

Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулировать еще так:

- Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.

- Если число кратно 4, то оно кратно и 2.

- Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.

- Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.

- Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.

Последние два предложения часто формулируют в следующей форме:

-Для того чтобы число было кратно 2, достаточно, чтобы оно было кратно 4.

-Для того чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2.

Так как одно и то же утверждение «из А(х) следует В(х)» можно прочитать по-разному, надо уметь переходить от одной его формулировки к другой, не меняя смысла.

Задача 1. Данные предложения переформулируйте, используя раз­личные способы прочтения утверждения А(х) => В(х):

а) Всякий квадрат является прямоугольником.

б) Для того чтобы число делилось на 5, достаточно, чтобы его запись оканчивалась нулем.

Решение. а) В данном высказывании можно выделить два предложения: А(х) - «четырехугольник - квадрат» и В(х) - «четырехугольник - прямоугольник». Они находятся в отношении следования: А(х)Þ В(х), которое выражено предложением со словом «всякий». Данное высказывание можно переформулировать:

1) Из того, что четырехугольник - квадрат, следует, что он прямоугольник.

2) Если четырехугольник - квадрат, то он прямоугольник.

3) Четырехугольник является прямоугольником - это следствие того, что четырехугольник - квадрат.

4) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы он был квадратом.

5) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником.

б) В данном высказывании так же, как и в а), можно выделить два предложения: Р(х) - «число делится на 5» и К(х) - «запись числа оканчивается нулем», причем второе является достаточным условием для первого. Поэтому имеет место следование: К(х) => Р(х), которое можно сформулировать так:

1) Из того, что запись числа оканчивается нулем, следует, что число делится на 5.

2) Всякое число, запись которого оканчивается нулем, делится на 5.

3) Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5.

4) Делимость числа на 5 - это следствие того, что его запись оканчивается нулем.

5) Для того чтобы запись числа оканчивалась нулем, необходимо, чтобы оно делилось на 5.

Как и любое высказывание, предложение А(х) => В(х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А{х) есть В(х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера - что оно ложно.

Задача 2. Определите значение истинности высказывания:

а) Если запись числа оканчивается цифрой 6, то число делится на 2.

б) Для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы его запись оканчивалась нулем.

Решение. а) По всей видимости это высказывание истинное. Действительно, всякое число, запись которого оканчивается цифрой 6 - четное, а всякое четное число делится на 2. Следовательно, число, запись которого оканчивается цифрой 6, делится на 2.

Мы убедились в истинности данного высказывания путем доказательства.

б) Если сформулировать данное высказывание в виде «из того, что число делится на 5, следует, что его запись оканчивается нулем», то сразу можно сказать, что оно ложное. И убедиться в этом можно при мощи контрпримера. Так, число 35 делится на 5, но его запись не оканчивается нулем.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) => В(х)означает, что если Т_А - множество истинности высказывательной фомы А(х), а Т_В- множество истинности высказывательной формы В(х), то Т_А Ì Т_В. Справедливо и обратное утверждение.

Этим фактом удобно пользоваться при установлении значения истинности высказывания А(х) => В{х).

Задача 3. Доказать, что из уравнения З х (х - 2) = 0 следует уравнение Зх(х - 2)(х + 3) = 0, если уравнения заданы на множестве Z целых чисел.

Решение. Множество решений первого уравнения – Т₁ = {0, 2}, множество решений второго – Т₂ = {0, 2, -3}. Видим, что Т₁ Ì Т_2. Следовательно, из уравнения

З х(х - 2) = 0 следует уравнение 3 х (х -2)(х + 3) = 0.

Рассмотрим две высказывательные формы А(х) - «число делите» на 3» и В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 3». Из школьного курса математики известно, что если число делится на 3, то сумма цифр в записи этого числа разделится на 3, и наоборот. В этом случае говорят, что предложения А(х) и В(х) равносильны.

Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).

Для обозначения отношения равносильности используется знак <=>. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) <=> В(х), прочитать которое можно по-разному:

1) А(х) равносильно В(х).

2) А(х) тогда и только тогда, когда В(х).

3) А(х) - необходимое и достаточное условие для В(х).

4) В(х) - необходимое и достаточное условие для А(х).

Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:

-Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр в его записи делится на 3.

-Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.

С теоретико-множественной точки зрения высказывание А(х) <=> В(х) означает, что если Т_А - множество истинности высказывательной формы А(х), а Т_В - множество истинности высказывательной формы В(х), то Т_А = Т_В.

Задача 4. Доказать, что уравнения 3 х (х - 2) = 0 и 3х(х - 2)(х + 3) = 0 равносильны на множестве целых неотрицательных чисел.

Решение. Множество решений первого уравнения - Т, = {0>2} множество решений второго, заданного на множестве целых неотрицательных чисел, Т₂= {0, 2}. Число -3 (см. задачу 3) множеству Т₂ не принадлежит, потому что оно не является целым неотрицательным. Имеем, что Т₁ = Т₂, следовательно, данные уравнения на множестве

целых неотрицательных чисел равносильны.

Заметим, что мы рассматриваем понятия логического следования и равносильности для одноместных высказывательных форм. Для предложений, содержащих две и более переменных, эти понятия определяются аналогично.

Отметим также, что знак <=> мы использовали раньше, в частности, рассматривая логическую структуру явных определений понятий. Мы установили, что ее можно представить в виде аÛb. Употребление знака <=> здесь не случайно. Дело в том, что определение, как говорят в математике, порождает два равносильных предложения, которые затем используются наряду с другими в доказательствах. Например, определение «квадратом называется прямоугольник, имеющий равные соседние стороны» порождает равносильные предложения: «если прямоугольник является квадратом, то в нем соседние стороны равны» и «если в прямоугольнике соседние стороны равны, то прямоугольник является квадратом». Использовать в доказательствах можно любое из этих двух.

Знак <=> мы также использовали в записи правил построения отрицания высказываний. Например, Û В этом случае речь идет о равносильности высказываний определенной формы. При этом считают, что предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Другими словами, если их значения истинности совпадают при одинаковых наборах значений высказываний А и В.

Упражнения

1. Следует липредложение В(х) - « Число х четное» из предложения А(х), если:

а) А(х) - «Число х делится на 6»;

б) А{х) - «Число х делится на 7»;

в) А(х) - «Число х делится на 2».

Предложения А(х) и В(х) заданы на множестве натуральных чисел.

2. Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:

а)Треугольник АВС - равносторонний.

Треугольник АВС - равнобедренный.

б)Четырехугольник АВСБ - квадрат.

Четырехугольник АВСБ - ромб.

в) х ⋮ 3 и х ⋮ 6.

г) а > 2 и а > 5.

3. Полученные в упражнении 2 утверждения о следовании сформулируйте шестью различными способами.

4. Сформулируйте следующие высказывания в виде «если..., то...»:

а) А - достаточное условие для В;

б) А - необходимое условие для В;

в) В - достаточное условие для А;

г)В- необходимое условие для А.

5.Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:

а) Число а - натуральное, следовательно, и 15а - натуральное число

б) Число 15а - натуральное, следовательно, а - натуральное число

в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.

г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник - прямоугольник.

д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.

е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.

6. Для ложных высказываний из упражнения 5 постройте различными способами отрицание.

7. Равносильны ли следующие предложения А (х) и В(х), если:

а) А(х) - «число делится на 9»,

В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 9».

б) А(х) - «каждое слагаемое суммы делится на 4»,

В(х) - «сумма делится на 4».

8. Докажите, что предложение «в прямоугольнике Р диагонали взаимно перпендикулярны» и «прямоугольник Р - квадрат» равносильны. Утверждения о равносильности сформулируйте тремя различными способами.

9. Вставьте слова «и» либо «или» так, чтобы следующие высказывания были истинными:

а) а×b =0<=> a = 0... b = 0;

б) а×b¹0Ûa¹0…b¹0;

в) х Î А Ç В <=> х Î А... х Î В;

г) х Ï А Ç В <=> х Î А... х ÏВ.

10. Какие из следующих предложений можно переформулировать, употребив слова «необходимо» либо «достаточно»:

а) Если в четырехугольнике все углы равны, то четырехугольник является прямоугольником.

б) Сумма двух четных чисел есть число четное.

в) Всякое число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15.

11. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:

Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.

б) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно лепилось на 6 •

в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 10.

г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.

12.Вместо многоточия вставьте слова «необходимо» либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно», чтобы данные предложения были истинными:

а) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2,...., чтобы каждое слагаемое делилось на 2.

б) Для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2,..., чтобы сумма этих слагаемых делилась на 2.

в) Для того чтобы число делилось на 45,..., чтобы оно делилось на 5 и на 9.

г) Для того чтобы угол был острым,..., чтобы он был меньше прямого.

13. В начальном курсе математики синонимом слова «необходимо» является слово «нужно» («надо»), и синонимом слова «достаточно» - слово «можно». Зная это, вставьте вместо многоточия слова: «нужно» либо «можно», так чтобы высказывания были истинными; ответы обоснуйте:

а) Для того чтобы умножить сумму натуральных чисел на 5,... каждое слагаемое умножить на 5.

б) Для того чтобы найти неизвестное слагаемое,... из суммы вычесть другое слагаемое.

в) Для того чтобы вычесть число из суммы,... вычесть его из одного из слагаемых.

г) Для того чтобы число было четным,... чтобы оно делилось на 2.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: