Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве X, обозначают А(х) Ù В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения X высказывательная форма А(х) Ù В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить Т_А - множество истинности предложения А(х), Т_В - множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т_АÙВ, то, по всей видимости, Т_АÙВ = Т_А Ç Т_B.

Докажем это равенство.

1. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Î Т_АÙВ. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) Ù В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А (а) Ù В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то, по определению конъюнкции, получаем, что каждое из высказываний А (а) и В(а) также истинно. Это означает, что а Î Т_А и а Î Т_В. Следовательно, по определению пересечения множеств, а Î Т_А Ç Т_В. Таким образом, мы показали, что Т_АÙВ ÌТ_АÇ Т_в.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а - произвольный элемент множества X и известно, что а Î Т_А Ç Т_В. По определению пересечения множеств это означает, что а Î Т _А и а Î Т _В, откуда получаем, что А(а) и В(а) - истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) Ù В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х)ÙВ(х), т.е. а Î Т_АÙВ. Таким образом, мы доказали, что Т_АÇТ_В Ì Т_АÙВ.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства Т_А^В = Т_АÇ Т_B, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2 х > 10 и 4 + х < 12, т.е. множество истинности предложения 2х > 10 Ù 4 + х < 12. Пусть Т₁ - множество решений неравенства 2х > 10, а Т₂ - множество решений неравенства 4 + х < 12. Тогда Т₁ = (5, +¥), Т₂ = (-¥, 8). Чтобы найти те значения х, при которых истинны оба неравенства, надо найти пересечение их множеств решений: Т₁ÇТ₂ = (5, 8).

Видим, что выполнение этого задания свелось к решению системы неравенств. Вообще с точки зрения логики любая система неравенств есть конъюнкция неравенств, так же как и система уравнений есть конъюнкция уравнений.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В{х), заданных на множестве X, обозначают А(х) Ú В(х). Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения X, при которых обращается в истинное выска­зывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е. Т_АУ/В = Т_А и Т_B.

Доказательство этого равенства проводится аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример использования этого правила. Решим, например, уравнение (х - 2)(х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х - 2 = 0 V V х + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решений первого и второго уравнений, т.е. {2} и {-5} = {-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью. Решить совокупность уравнений (неравенств) - это значит найти те значения переменных, при которых истинно хотя бы одно из уравнений (неравенств), входящих в нее.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

С другой стороны, характеристические свойства элементов пересечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств:

А<^В={х\х&Алх&В},АиВ={х\хеАух&В), причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.

Упражнения

1. Покажите, что, выполняя следующие задания, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм:

а) Даны числа: 31, 53, 409, 348, 20, 3094, 233, 33, 271, 143, 3, 333, 14, 30. Выпишите все числа, в записи которых:

1)три цифры и есть цифра 3;

2)три цифры или есть цифра 3.

б) Из ряда 25, 12, 17, 5, 15, 36 выпишите числа:

1)двузначные или меньшие 17;

2)двузначные и меньшие 17.

в) Из ряда 72,312,522,483,1137 выпишите те числа, которые:

1)делятся на 3 и 9;

2)делятся на 3 или на 9.

2 Выполните следующие задания и дайте обоснование предложенным ответам:

а) Постройте по два треугольника, принадлежащих множеству А, если оно состоит из:

1)прямоугольных и равнобедренных треугольников;

2)прямоугольных или равнобедренных треугольников.

б) Постройте два четырехугольника, у которых:

1)диагонали равны и есть прямой угол;

2)диагонали равны или есть прямой угол.

в) Запишите три числа, которые:

1)делятся на 4 и больше 12;

2)делятся на 4 или больше 12.

3. Решите следующие системы неравенств и объясните, что представляет собой любая система неравенств и множество ее решений с точки зрения логики:

3 х -5>10; 4 х + 3<11

х -8<2 х; З х -7>8.

4. Решите уравнение (х - 3)(х + 2)(х - 7) = 0, х Î R. Использовалось ли вами понятие дизъюнкции высказывательных форм?

5. Вместо многоточия вставьте «и» либо «или»:

а) х Î А Ç В тогда и только тогда, когда х Î А... х Î В.

б) х Î А и В тогда и только тогда, когда х Î А... х Î В.

6. Пусть А - множество ромбов, В - множество прямоугольников. Как называется четырехугольник, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником? Как можно выразить множество К таких четырехугольников через множества А и В?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: