ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
- Археология
- Архитектура
- Астрономия
- Аудит
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерский учёт
- Войное дело
- Генетика
- География
- Геология
- Дизайн
- Искусство
- История
- Кино
- Кулинария
- Культура
- Литература
- Математика
- Медицина
- Металлургия
- Мифология
- Музыка
- Психология
- Религия
- Спорт
- Строительство
- Техника
- Транспорт
- Туризм
- Усадьба
- Физика
- Фотография
- Химия
- Экология
- Электричество
- Электроника
- Энергетика
Высказывания и высказывательные формы
Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:
1) число 12 – четное;
2) 2 + 5 > 8;
3) х + 5 = 8;
4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;
5) От перестановки множителей произведение не изменяется;
6) Некоторые числа делятся на 3.
Видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.
Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6, приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,..., Z.. Если высказывание А истинно, то записывают: А - «и», если же высказывание А - ложно, то пишут: А –«л».
«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.
Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х = 2, то 2 + 5 = 8- ложное высказывание, а при х = 3 оно обращается в истинное высказывание 3 + 5 = 8. Предложение х + 5 = 8 называется высказывателъной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.
По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. Например, х + 5 = 8 - одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна прямой у» - двухместная.
Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно. Например, в предложениях: «число четное», «две прямые пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х - четное», «Две прямые х и у пересекаются».
Задание высказывательной формы, как правило, предполагает и лание того множества, из которого выбираются значения переменной, ( переменных), входящей в высказывательную форму. Это множество язывается областью определения высказывательной формы. Например, неравенство
х > 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной х выбирается из множества действительных чисел. Тогда в первом случае областью определения неравенства х > 5 будет множество натуральных чисел, а во втором - множество действительных чисел.
Дадим определение одноместной высказывательной формы (понятие высказывательной формы, содержащей две и более переменных, определяется аналогично).
Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества X.
Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5;¥). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.
Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда ТÌ1.
Предложения (высказывания и высказывательные формы), которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм?
Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями.
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда» и др. С помощью частицы «не» или словосочетания «неверно, что» можно из данного предложения получить новое.
Слова «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (слова «неверно, что») называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являю, щиеся составными, называют элементарными. Приведем примеры составных предложений:
1) Число 28 четное и делится на 7.
Это предложение образовано из двух элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логической связки «и».
2) Число х меньше или равно 8.
Это предложение образовано из двух элементарных: «число х меньше 8», «число х равно 8» с помощью логической связки «или».
3) Число 14 не делится на 4.
Это составное высказывание образовано из предложения «число 14 делится на 4» с помощью частицы «не».
Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что все три предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре - простые. Не всегда, но так бывает: простое предложение по своей логической структуре может быть составным.
А как определять значение истинности составного высказывания? Например, истинно или ложно высказывание: «число 28 делится на 7 и на 9»? Элементарное высказывание «число 28 делится на 7», входящее в составное, истинное - это известно из начального курса математики. Второе элементарное высказывание «число 28 делится на 9» - ложное (и это нам известно). А каким будет в этом случае значение истинности составного высказывания, образованного из этих высказываний с помощью союза «и»? Ответить на этот вопрос можно, если знать смысл этого союза. Но так как составные высказывания образуются с помощью и других логических связок, то возникает необходимость в уточнении их смысла.
Кроме того, уточнение смысла используемых в математике связок обусловлено их неоднозначным толкованием в обыденной речи, что может привести к неоднозначному ответу при нахождении значения истинности составных высказываний.
Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.
Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:
1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;
2) с помощью каких логических связок оно образовано.
Выявим, например, логическую структуру предложения «Если углы вертикальные, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений: предложения А - «углы вертикальные» и предложения В – углы равны». Соединены они в одно составное предложение с поморщу логической связки
«если..., то...». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму):
«если А, то B».
Упражнения
1. Среди следующих предложений, рассматриваемых в начальном курсе математики, укажите высказывания и определите их значение истинности:
а) (12-7)×(6 + 3) = 45;
б) (15+12):3>10;
в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;
г) (12- х)×4 = 24;
д) среди четырехугольников есть такие, у которых все стороны равны;
е) число z - двузначное;
ж) произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174;
з) число 6 является корнем уравнения (12 - х) × 4 = 24.
2. Какие предложения из упражнения 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось:
а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.
3. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:
а) х2-2х; в) 7-4 + 2 = 30;
б) 4х + 2.у; г) 7-4 + 2<30?
4. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х - 10 < 0, заданной на множестве X, если
а) Х = R; б)Х = N в) Х= {0,1,2,3,4,5,6,7}.
5. Изобразите на координатной прямой множество истинности каждого из предложений при условии, что все они заданы на множестве R:
а) х > 2; в) 2 < х < 6; д) 2 < х £ 6;
б) х £3; г) 2£ х <6; е) 2£ х £6.
Как можно записать, используя общепринятые символы, множество истинности каждого из данных предложений?
6. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предложений при условии, что х, у Î R:
а) х = у; в) х = 2; д) у = 2х + 3;
б) у = 2х; г) у = 2; е) у = 2х- 3.
7. В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки:
а) В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой.
б) х³7.
в) Если запись числа оканчивается цифрой 0, то число делится на 5
г) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны.
д) Неверно, что число 17 делится на 3.
е) Если а-b = 0, то я = 0 или b = 0.
8. Какова логическая структура (форма) следующих предложений:
а) Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
б) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
в) Треугольник АВС не является равносторонним.
9. Приведите примеры математических предложений, имеющих логическую структуру вида:
а) А и В; 6) А или В; в) если А, то В.
10. Покажите, что выполнение учащимися начальных классов следующих заданий связано с понятием высказывательной формы, области ее определения и множества истинности:
а) Из ряда чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9 выпиши те, которые делятся на 3.
б) Назови все числа, меньшие 7 (имеются в виду только целые неотрицательные числа).
17. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний1
Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание называют конъюнкцией и обозначают А Ù В (читают: «А и В»).
Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А Ù В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.
| А | В | АÙВ |
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | л |
| л | л | л |
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и» является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.
Заметим, что данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». Действительно, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать истинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и все предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем считать ложным.
Заметим также, что в обыденной речи конъюнкция может выражаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только..., но и...». Например: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».
Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».
Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказывание называют дизъюнкцией и обозначают А Ú В (читают: «А или В»).
Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется выска зывание А Ú В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:
| А | В | А Ú В уВ |
| и | и | и |
| и | л | и |
| л | и | и |
| л | л | л |
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.
Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказыва-ие «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.
Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логических операций и их результаты (составные предложения) называются одинаково.
Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.
Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1,ÙА2, Ù... Ù Аt которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.
Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1Ú А, Ú... Ú Аt которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.
Упражнения
1. Известно, что высказывание А истинно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания:
а) А ÙВ; б) А Ú B.
2. Известно, что высказывание А - ложно. Можно ли, зная лишь это, определить значение истинности высказывания:
а) А Ù В; б) А Ú B?
|
3. Определите значение истинности каждого высказывания:
а) число 6 делится на 2 и на 3;
б) число 123 делится на 3 и на 9;
в) при делении 42 на 5 в остатке получится 2или 5;
г) треугольник АВС (рис. 32) прямоугольный и равносторонний;
д) один из углов треугольника АВС (рис. 32) равен 60°.
е) 3 £7; ж) 3 ³ 7.
4. Каждое из следующих предложений замените конъюнкцией либо дизъюнкцией, имеющей тот же смысл:
а) число 7 принадлежит хотя бы одному из множеств А и В;
б) квадратное уравнение имеет не более двух корней;
в) каждое слагаемое суммы х + у + z делится на 3;
г) по крайней мере одно из натуральных чисел п, п-1,п + 1 четно.
5. А - множество четных натуральных чисел, В - множество натуральных чисел, меньших 20.
Установите, какие из следующих высказываний истинны:
а) 5 Î А или 5 Î В; д) 44 Î А или 44 Î В;
б) 5 Î А и 5 Î В; е) 44 Î А и 44 Î В;
в) 8 Î А или 8 Î В; ж) 51 Î А или 51 Î В;
г)8Î А и8Î В; з) 51Î А и51Î В.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: