Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 13. Если то или коротко:

Теорема 14. Если , то или коротко:

Теорема 15. Если то или коротко:

Теорема 16. Если то или коротко:

26) Теорема Ролля. Если функция непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала и, кроме того, на концах интервала принимает одинаковые значения, то в этом интервале найдётся хотя бы одна точка в которой значение производной обращается в нуль.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая в интервале функ-ция принимает в точке () своё наибольшее значение в то в этой точке производная обращается в нуль, т. е.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны в замкнутом интервале и дифференцируемы во всех внутренних точках этого интервала, причём всюду в этом интервале то в найдется хотя бы одна точка (), для которой справедлива формула

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала, то в найдется хотя бы одна точка (), для которой справедлива формула

27). Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при ( – заданное число) или при Если при этом отношение производных имеет предел, то отношение функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т. е.

28) Возрастание и убывание функции. Монотонность. Интервалы монотонности. Достаточный признак монотонности функции.

Функция называется возрастающей в интервале, если большему значению аргумента отвечает большее значение функции, а интервал называется интервалом возрастания функции.

Функция называется убывающей в интервале, если большему значению аргумента отвечает меньшее значение функции, а интервал называется интервалом убывания функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности, а сама функция называется монотонной.

29) Точки экстремума функции. Экстремумы функции.

Пусть – внутренняя точка области определения функции Точка называется точкой максимума функции если для всех отличных от точек некоторой окрестности точки (другими словами, некоторого малого интервала, содержащего внутри себя точку ), выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции если для всех отличных от точек некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции, а значения функции в этих точках – экстремальными (максимальными или минимальными) значениями.

30) Наибольшие и наименьшие значения функции в интервале. Необходимый признак экстремума. Критические точки.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции) .Если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то её производная в этой точке обращается в нуль, т. е.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками функции Как мы видели, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции

30) Наибольшие и наименьшие значения функции в интервале. Необходимый признак экстремума. Критические точки.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции) .Если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то её производная в этой точке обращается в нуль, т. е.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками функции Как мы видели, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции

32) Схема исследования функции на экстремум.

Рассмотрим схему исследования функции на экстремум. Чтобы найти экстремум функции , нужно:

· найти критические точки этой функции, т. е. точки, в которых производная обращается в нуль или не существует;

· каждую критическую точку исследовать с помощью достаточного признака экстремума;

найти экстремальные значения функции, подставив вместо в выражение точки экстремума

33) Выпуклость и вогнутость кривой. Точки ее перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой.