Действия над векторами в координатах

С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы и . Эти векторы можно разложить по координатным векторам и как и , что было показано в статье координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Найдем сумму векторов и , а также произведение вектора на произвольное действительное число .

В силу свойств операций над векторами, справедливы следующие равенства

Правые части этих равенств представляют собой разложение векторов и по координатным векторам и , следовательно, векторы и имеют координаты и соответственно.

Аналогично для векторов и , заданных в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, мы можем записать

следовательно, .

Таким образом, координаты суммы векторов и равны сумме соответствующих координат векторов и ,

а координаты произведения вектора на число равны соответствующим координатам вектора , умноженным на это число в заданной системе координат.

Если требуется найти координаты суммы нескольких векторов, то они будут равны сумме соответствующих координат каждого из векторов.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Выполните операцию сложения векторов и , а также найдите координаты произведения вектора на число .

Решение.

Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат каждого из векторов, то .

При выполнении операции умножения вектора на число, умножаем на это число каждую координату: .

Ответ: